Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Мероморфная функция на комплексной плоскости
Meromorphic function on the complex plane
В математике, L-функция — это мероморфная функция на комплексной плоскости, связанная с одной из нескольких категорий математических объектов. L-ряд — это ряд Дирихле, обычно сходящийся на полуплоскости, который может порождать L-функцию посредством аналитического продолжения. Функция Римана-дзета является примером L-функции, а некоторые важные гипотезы, связанные с L-функциями, — это гипотеза Римана и её обобщения. Теория L-функций стала очень значительной и до сих пор в значительной степени гипотетической частью современной аналитической теории чисел. В ней строятся широкие обобщения функции Римана-дзета и L-ряда для символа Дирихле, а их общие свойства, в большинстве случаев все еще недоступные для доказательства, систематически излагаются. Благодаря формуле произведения Эйлера существует глубокая связь между L-функциями и теорией простых чисел. Математическая область, изучающая L-функции, иногда называется аналитической теорией L-функций.
In mathematics, an L function is a meromorphic function on the complex plane, associated to one out of several categories of mathematical objects. An ''L series is a Dirichlet series, usually convergent on a half plane, that may give rise to an L function via analytic continuation. The Riemann zeta function is an example of an L function, and some important conjectures involving L functions are the Riemann hypothesis and its generalizations. The theory of L functions has become a very substantial, and still largely conjectural, part of contemporary analytic number theory. In it, broad generalisations of the Riemann zeta function and the L series for a Dirichlet character are constructed, and their general properties, in most cases still out of reach of proof, are set out in a systematic way. Because of the Euler product formula there is a deep connection between L functions and the theory of prime numbers. The mathematical field that studies L functions is sometimes called analytic theory of L'' functions.
Строительство
Мы сразу же различаем L-ряд, представление в виде бесконечного ряда (например, ряд Дирихле для дзета-функции Римана), и L-функцию, функцию в комплексной плоскости, являющуюся её аналитическим продолжением. Общие построения начинаются с L-ряда, определяемого сначала как ряд Дирихле, а затем расширяемого в произведение Эйлера, индексированное простыми числами. Для доказательства сходимости этого ряда в некоторой правой полуплоскости комплексных чисел требуются оценки. Затем возникает вопрос, можно ли аналитически продолжить таким образом определенную функцию на остальную часть комплексной плоскости (возможно, с некоторыми полюсами). Именно это (предполагаемое) мероморфное продолжение на комплексную плоскость и называется L-функцией. Уже в классических случаях известно, что полезная информация содержится в значениях и поведении L-функции в точках, где ряд не сходится. Общий термин L-функция включает в себя многие известные типы дзета-функций. Класс Сельберга – это попытка зафиксировать основные свойства L-функций в наборе аксиом, тем самым стимулируя изучение свойств класса, а не отдельных функций.
We distinguish at the outset between the L series, an infinite series representation (for example the Dirichlet series for the Riemann zeta function), and the L function, the function in the complex plane that is its analytic continuation. The general constructions start with an L series, defined first as a Dirichlet series, and then by an expansion as an Euler product indexed by prime numbers. Estimates are required to prove that this converges in some right half plane of the complex numbers. Then one asks whether the function so defined can be analytically continued to the rest of the complex plane (perhaps with some poles). It is this (conjectural) meromorphic continuation to the complex plane which is called an L function. In the classical cases, already, one knows that useful information is contained in the values and behaviour of the L function at points where the series representation does not converge. The general term L function here includes many known types of zeta functions. The Selberg class is an attempt to capture the core properties of L functions in a set of axioms, thus encouraging the study of the properties of the class rather than of individual functions.
Гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера
Одним из влиятельных примеров, как для истории более общих L-функций, так и как все еще нерешенная исследовательская проблема, является гипотеза, сформулированная Брайаном Бирчем и Питером Суиннертоном-Дайером в начале 1960-х годов. Она применима к эллиптической кривой E, и задача, которую она пытается решить, – предсказание ранга эллиптической кривой над рациональными числами (или другим глобальным полем), то есть количество свободных образующих ее группы рациональных точек. Значительная предшествующая работа в этой области начала объединяться вокруг более глубокого понимания L-функций. Это был своего рода парадигматический пример зарождающейся теории L-функций.
One of the influential examples, both for the history of the more general L functions and as a still open research problem, is the conjecture developed by Bryan Birch and Peter Swinnerton Dyer in the early part of the 1960s. It applies to an elliptic curve E, and the problem it attempts to solve is the prediction of the rank of the elliptic curve over the rational numbers (or another global field): i. e. the number of free generators of its group of rational points. Much previous work in the area began to be unified around a better knowledge of L functions. This was something like a paradigm example of the nascent theory of L functions.
Появление общей теории
Это развитие предшествовало программе Лэнгленда на несколько лет и может рассматриваться как дополнение к ней: работа Лэнгленда в основном связана с функциями L Артина, которые, как и функции L Хекке, были определены за несколько десятилетий до этого, а также с функциями L, присоединенными к общим автоморфным представлениям. Постепенно стало яснее, в каком смысле построение дзета-функций Хассе — Вейля можно использовать для получения корректных функций L в аналитическом смысле: необходим вклад из области анализа, а именно — автоморфного анализа. В настоящее время общий случай концептуально объединяет ряд различных исследовательских программ.
This development preceded the Langlands program by a few years, and can be regarded as complementary to it: Langlands' work relates largely to Artin L functions, which, like Hecke L functions, were defined several decades earlier, and to L functions attached to general automorphic representations. Gradually it became clearer in what sense the construction of Hasse–Weil zeta functions might be made to work to provide valid L functions, in the analytic sense: there should be some input from analysis, which meant automorphic analysis. The general case now unifies at a conceptual level a number of different research programs.