Схемы в алгебраической геометрии: обобщение и развитие

Введение

Обобщение алгебраического многообразия
В математике схема — это математическая структура, которая расширяет понятие алгебраического многообразия несколькими способами, например, учитывая кратности (уравнения x = 0 и x² = 0 определяют одно и то же алгебраическое многообразие, но разные схемы) и позволяя определять «многообразия» над любым коммутативным кольцом (например, кривые Ферма определены над целыми числами). Теория схем была введена Александром Гротендиком в 1960 году в его труде «Элементы алгебраической геометрии»; одной из её целей было развитие формализма, необходимого для решения глубоких проблем алгебраической геометрии, таких как гипотезы Вейля (последняя из которых была доказана Пьером Делинем). Крепко опираясь на коммутативную алгебру, теория схем позволяет систематически использовать методы топологии и гомологической алгебры. Теория схем также объединяет алгебраическую геометрию с большей частью теории чисел, что в конечном итоге привело к доказательству Уайлсом последней теоремы Ферма. Формально схема — это топологическое пространство вместе с коммутативными кольцами для всех его открытых множеств, которое возникает путём склеивания спектров (пространств простых идеалов) коммутативных колец вдоль их открытых подмножеств. Иными словами, это кольцевое пространство, локально являющееся спектром коммутативного кольца. Относительный подход заключается в том, что большая часть алгебраической геометрии должна быть разработана для морфизма X → Y схем (называемого схемой X над Y), а не для отдельной схемы. Например, при изучении алгебраических поверхностей может быть полезно рассматривать семейства алгебраических поверхностей над любой схемой Y. Во многих случаях семейство всех многообразий данного типа само по себе может рассматриваться как многообразие или схема, известная как пространство модулей. Подробные определения в теории схем см. в глоссарии теории схем.

Разработка

Истоки алгебраической геометрии в основном лежат в изучении полиномиальных уравнений над действительными числами. К XIX веку стало ясно (особенно в работах Жана Виктора Понселе и Бернарда Римана), что алгебраическая геометрия упрощается при работе над полем комплексных чисел, которое имеет преимущество быть алгебраически замкнутым. В начале XX века внимание постепенно привлекли два вопроса, вызванные проблемами в теории чисел: как можно развить алгебраическую геометрию над любым алгебраически замкнутым полем, особенно в положительной характеристике? (Инструменты топологии и комплексного анализа, используемые для изучения комплексных многообразий, здесь, по-видимому, неприменимы.) А что насчет алгебраической геометрии над произвольным полем? Нульстельенсац Гильберта предлагает подход к алгебраической геометрии над любым алгебраически замкнутым полем k: максимальные идеалы в полиномиальном кольце k[x1, …, xn] находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством kn из n-ок элементов k, а простые идеалы соответствуют неприводимым алгебраическим множествам в kn, известным как аффинные многообразия. Вдохновленные этими идеями, Эмми Нотер и Вольфганг Крул развили теорию коммутативной алгебры в 1920-х и 1930-х годах. Их работа обобщает алгебраическую геометрию в чисто алгебраическом направлении: вместо изучения простых идеалов в полиномиальном кольце можно изучать простые идеалы в любом коммутативном кольце. Например, Крул определил размерность любого коммутативного кольца с точки зрения простых идеалов. По крайней мере, когда кольцо ноэтерианское, он доказал многие свойства, которые можно ожидать от геометрического понятия размерности. Коммутативная алгебра Нотер и Крулла может рассматриваться как алгебраический подход к аффинным алгебраическим многообразиям. Однако многие аргументы в алгебраической геометрии работают лучше для проективных многообразий, поскольку проективные многообразия компактны. С 1920-х по 1940-е годы Б. Л. ван дер Варден, Андре Вейль и Оскар Зариски применяли коммутативную алгебру в качестве новой основы для алгебраической геометрии в более богатом контексте проективных (или квазипроективных) многообразий. В частности, топология Зариски является полезной топологией на многообразии над любым алгебраически замкнутым полем, в некоторой степени заменяя классическую топологию на комплексном многообразии (основанную на топологии комплексных чисел). Для приложений к теории чисел ван дер Варден и Вейль сформулировали алгебраическую геометрию над любым полем, не обязательно алгебраически замкнутым. Вейль первым определил абстрактное многообразие (не вложенное в проективное пространство), склеивая аффинные многообразия вдоль открытых подмножеств, по аналогии с многообразиями в топологии. Ему нужна была эта общность для построения якобиана кривой над любым полем. (Позже было показано, что якобианы являются проективными многообразиями Вейлем, Чоу и Мацусакой.) Алгебраические геометры итальянской школы часто использовали несколько туманное понятие общей точки алгебраического многообразия. То, что верно для общей точки, верно для "большинства" точек многообразия. В работе Вейля "Основы алгебраической геометрии" (1946) общие точки строятся путем взятия точек в очень большом алгебраически замкнутом поле, называемом универсальной областью. Хотя это работало в качестве основы, это было неудобно: для одного и того же многообразия было много разных общих точек. (В более поздней теории схем каждое алгебраическое многообразие имеет одну общую точку.) В 1950-х годах Клод Шевалье, Масаёси Нагата и Жан-Пьер Серр, частично мотивированные гипотезами Вейля, связывающими теорию чисел и алгебраическую геометрию, еще больше расширили объекты алгебраической геометрии, например, обобщив разрешенные базовые кольца. Слово "схема" впервые было использовано в 1956 году на семинаре Шевалье, где Шевалье развивал идеи Зариски. По словам Пьера Картье, именно Андре Мартино предложил Серру возможность использования спектра произвольного коммутативного кольца в качестве основы для алгебраической геометрии.

The origins of algebraic geometry mostly lie in the study of polynomial equations over the real numbers. By the 19th century, it became clear (notably in the work of Jean Victor Poncelet and Bernhard Riemann) that algebraic geometry was simplified by working over the field of complex numbers, which has the advantage of being algebraically closed. Two issues gradually drew attention in the early 20th century, motivated by problems in number theory: how can algebraic geometry be developed over any algebraically closed field, especially in positive characteristic? (The tools of topology and complex analysis used to study complex varieties do not seem to apply here.) And what about algebraic geometry over an arbitrary field? Hilbert's Nullstellensatz suggests an approach to algebraic geometry over any algebraically closed field k: the maximal ideals in the polynomial ring k[x1, ,xn] are in one to one correspondence with the set kn of n tuples of elements of k, and the prime ideals correspond to the irreducible algebraic sets in kn, known as affine varieties. Motivated by these ideas, Emmy Noether and Wolfgang Krull developed the subject of commutative algebra in the 1920s and 1930s. Their work generalizes algebraic geometry in a purely algebraic direction: instead of studying the prime ideals in a polynomial ring, one can study the prime ideals in any commutative ring. For example, Krull defined the dimension of any commutative ring in terms of prime ideals. At least when the ring is Noetherian, he proved many of the properties one would want from the geometric notion of dimension. Noether and Krull's commutative algebra can be viewed as an algebraic approach to affine algebraic varieties. However, many arguments in algebraic geometry work better for projective varieties, essentially because projective varieties are compact. From the 1920s to the 1940s, B. L. van der Waerden, André Weil and Oscar Zariski applied commutative algebra as a new foundation for algebraic geometry in the richer setting of projective (or quasi projective) varieties. In particular, the Zariski topology is a useful topology on a variety over any algebraically closed field, replacing to some extent the classical topology on a complex variety (based on the topology of the complex numbers). For applications to number theory, van der Waerden and Weil formulated algebraic geometry over any field, not necessarily algebraically closed. Weil was the first to define an abstract variety (not embedded in projective space), by gluing affine varieties along open subsets, on the model of manifolds in topology. He needed this generality for his construction of the Jacobian variety of a curve over any field. (Later, Jacobians were shown to be projective varieties by Weil, Chow and Matsusaka.) The algebraic geometers of the Italian school had often used the somewhat foggy concept of the generic point of an algebraic variety. What is true for the generic point is true for "most" points of the variety. In Weil's Foundations of Algebraic Geometry (1946), generic points are constructed by taking points in a very large algebraically closed field, called a universal domain. Although this worked as a foundation, it was awkward: there were many different generic points for the same variety. (In the later theory of schemes, each algebraic variety has a single generic point.) In the 1950s, Claude Chevalley, Masayoshi Nagata and Jean Pierre Serre, motivated in part by the Weil conjectures relating number theory and algebraic geometry, further extended the objects of algebraic geometry, for example by generalizing the base rings allowed. The word scheme was first used in the 1956 Chevalley Seminar, in which Chevalley was pursuing Zariski's ideas. According to Pierre Cartier, it was André Martineau who suggested to Serre the possibility of using the spectrum of an arbitrary commutative ring as a foundation for algebraic geometry.

Происхождение схем

Затем Гротендик дал решающее определение схемы, завершив целое поколение экспериментальных предложений и частичных разработок. Он определил спектр X коммутативного кольца R как пространство простых идеалов R с естественной топологией (известной как топология Зариски), но дополнил его пучком колец: каждому открытому подмножеству U он сопоставил коммутативное кольцо OX(U). Эти объекты Spec(R) являются аффинными схемами; общая схема затем получается "склеиванием" аффинных схем. Большая часть алгебраической геометрии сосредоточена на проективных или квазипроективных многообразиях над полем k; фактически, k часто принимается равным комплексным числам. Такие схемы очень специфичны по сравнению с произвольными схемами; смотрите примеры ниже. Тем не менее, удобно, что Гротендик разработал обширную теорию для произвольных схем. Например, часто сначала строят модульное пространство как схему, и только потом изучают, является ли оно более конкретным объектом, таким как проективное многообразие. Кроме того, приложения к теории чисел быстро приводят к схемам над кольцом целых чисел, которые не определены ни над каким полем.

Определение

Аффинная схема — это локально кольцевое пространство, изоморфное спектру Spec(R) коммутативного кольца R. Схема — это локально кольцевое пространство X, допускающее покрытие открытыми множествами Ui, такое что каждое Ui (как локально кольцевое пространство) является аффинной схемой. В частности, X снабжено пучком OX, который каждому открытому подмножеству U присваивает коммутативное кольцо OX(U), называемое кольцом регулярных функций на U. Схему можно представлять как покрытую "координатными атласами", состоящими из аффинных схем. Это определение означает, что схемы получаются склеиванием аффинных схем с использованием топологии Зариски. Изначально это называлось предварительной схемой, а схема определялась как разделенная предварительная схема. Термин "пресхема" устарел, но все еще встречается в старых книгах, таких как "Элементы алгебраической геометрии" Гротендика и "Красная книга" Мамфорда. Базовым примером аффинной схемы является аффинное n-пространство над полем k, для натурального числа n. По определению, оно является спектром кольца многочленов k[x1, ..., xn]. В духе теории схем, аффинное n-пространство может быть определено над любым коммутативным кольцом R, то есть как Spec(R[x1, ..., xn]).

Категория схем

Схемы образуют категорию, где морфизмы определяются как морфизмы локально кольцевых пространств. (См. также: морфизм схем.) Для схемы Y схема X над Y (или Y-схема) означает морфизм X → Y схем. Схема X над коммутативным кольцом R означает морфизм X → Spec(R). Алгебраическое многообразие над полем k можно определить как схему над k с определенными свойствами. Существуют различные соглашения относительно того, какие схемы следует называть многообразиями. Один из стандартных выборов заключается в том, что многообразие над k означает интегральную разделенную схему конечного типа над k.

Морфизм f: X → Y схем определяет отображение обратного образа на кольцах регулярных функций, f*: O(Y) → O(X). В случае аффинных схем эта конструкция дает взаимно однозначное соответствие между морфизмами Spec(A) → Spec(B) схем и гомоморфизмами колец B → A. В этом смысле теория схем полностью включает в себя теорию коммутативных колец. Поскольку Z является начальным объектом в категории коммутативных колец, категория схем имеет Spec(Z) в качестве терминального объекта. Для схемы X над коммутативным кольцом R, R-точка схемы X означает сечение морфизма X → Spec(R). Пишется X(R) для множества R-точек схемы X. В примерах это определение восстанавливает старое понятие множества решений определяющих уравнений X со значениями в R. Когда R является полем k, X(k) также называется множеством k-рациональных точек схемы X. В более общем случае, для схемы X над коммутативным кольцом R и любой коммутативной R-алгебры S, S-точка схемы X означает морфизм Spec(S) → X над R. Пишется X(S) для множества S-точек схемы X. (Это обобщает старое наблюдение о том, что для некоторых уравнений над полем k можно рассматривать множество решений этих уравнений в любом полевом расширении E поля k.) Для схемы X над R, соответствие S ↦ X(S) является функтором из коммутативных R-алгебр в множества. Важное замечание состоит в том, что схема X над R определяется этим функтором точек. Волокнистое произведение схем всегда существует. То есть, для любых схем X и Z с морфизмами в схему Y, волокнистое произведение X ×YZ (в смысле теории категорий) существует в категории схем. Если X и Z – схемы над полем k, их волокнистое произведение над Spec(k) можно назвать произведением X × Z в категории k-схем. Например, произведение аффинных пространств Am и An над k является аффинным пространством Am+n над k.

Поскольку категория схем имеет волокнистые произведения, а также терминальный объект Spec(Z), она имеет все конечные пределы.

Примеры морфизмов

Также полезно рассматривать примеры морфизмов как примеры схем, так как они наглядно демонстрируют свою практическую эффективность в объединении множества изучаемых объектов в алгебраической и арифметической геометрии.

Арифметические поверхности

Если мы рассматриваем полином, то аффинная схема имеет канонический морфизм в и называется арифметической поверхностью. Тогда волокна являются алгебраическими кривыми над конечными полями. Если является эллиптической кривой, то волокна над её дискриминантным множеством, порожденным где – все сингулярные схемы. Например, если – простое число, а – то его дискриминант равен . В частности, эта кривая является сингулярной для простых чисел .

Мотивация для схем

Вот некоторые из способов, которыми схемы выходят за рамки более старых представлений об алгебраических многообразиях и их значение. Расширения поля. Для заданных полиномиальных уравнений в n переменных над полем k можно изучать множество X(k) решений этих уравнений в декартовом произведении kn. Если поле k алгебраически замкнуто (например, комплексные числа), то алгебраическую геометрию можно основывать на множествах, подобных X(k): определять топологию Зариски на X(k), рассматривать полиномиальные отображения между различными множествами такого типа и так далее. Но если k не является алгебраически замкнутым, то множество X(k) недостаточно информативно. Действительно, можно изучать решения X(E) заданных уравнений в любом расширении поля E поля k, но эти множества не определяются X(k) в каком-либо разумном смысле. Например, плоская кривая X над действительными числами, заданная уравнением x² + y² = −1, имеет пустое X(R), но непустое X(C). (Фактически, X(C) можно отождествить с C \ {0}.) В отличие от этого, схема X над полем k содержит достаточно информации для определения множества X(E) E-рациональных точек для каждого расширения поля E поля k. (В частности, замкнутая подсхема A, заданная уравнением x² + y² = −1, является непустым топологическим пространством.) Универсальная точка. Точки аффинной прямой A, рассматриваемые как схема, состоят из ее комплексных точек (по одной для каждого комплексного числа) вместе с одной универсальной точкой (замыкание которой совпадает со всей схемой). Универсальная точка является образом естественного морфизма Spec(C(x)) → A, где C(x) — поле рациональных функций от одной переменной. Чтобы понять, зачем нужна фактическая "универсальная точка" в схеме, рассмотрим следующий пример. Пусть X — плоская кривая y² = x(x−1)(x−5) над комплексными числами. Это замкнутая подсхема A. Ее можно рассматривать как разветвленное двойное накрытие аффинной прямой A, проецирующее на координату x. Волокно морфизма X → A₁ над универсальной точкой A₁ совпадает с универсальной точкой X, что дает морфизм. Это, в свою очередь, эквивалентно расширению поля степени 2. Таким образом, наличие фактической универсальной точки многообразия устанавливает геометрическую связь между морфизмом степени 2 алгебраических многообразий и соответствующим расширением полей функций степени 2. Это обобщается до связи между фундаментальной группой (классифицирующей накрывающие пространства в топологии) и группой Галуа (классифицирующей определенные расширения поля). Действительно, теория этальной фундаментальной группы Гротендика рассматривает фундаментальную группу и группу Галуа на равных. Нильпотентные элементы. Пусть X — замкнутая подсхема аффинной прямой A, заданная уравнением x² = 0, иногда называемая толстой точкой. Кольцо регулярных функций на X равно C[x]/(x²); в частности, регулярная функция x на X нильпотентна, но не равна нулю. Чтобы прояснить смысл этой схемы: две регулярные функции на аффинной прямой имеют одинаковое ограничение на X тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое значение и первую производную в начале координат. Допущение таких нередуцированных схем вводит идеи исчисления и бесконечно малых в алгебраическую геометрию. В качестве более сложного примера можно описать все замкнутые подсхемы нулевой размерности степени 2 в гладком комплексном многообразии Y. Такая подсхема состоит либо из двух различных комплексных точек Y, либо из подсхемы, изоморфной X = Spec C[x]/(x²), как в предыдущем абзаце. Подсхемы последнего типа определяются комплексной точкой y из Y вместе с прямой в касательном пространстве TyY. Это снова указывает на то, что нередуцированные подсхемы имеют геометрический смысл, связанный с производными и касательными векторами.

Here are some of the ways in which schemes go beyond older notions of algebraic varieties, and their significance. Field extensions. Given some polynomial equations in n variables over a field k, one can study the set X(k) of solutions of the equations in the product set kn. If the field k is algebraically closed (for example the complex numbers), then one can base algebraic geometry on sets such as X(k): define the Zariski topology on X(k), consider polynomial mappings between different sets of this type, and so on. But if k is not algebraically closed, then the set X(k) is not rich enough. Indeed, one can study the solutions X(E) of the given equations in any field extension E of k, but these sets are not determined by X(k) in any reasonable sense. For example, the plane curve X over the real numbers defined by x2 + y2 = −1 has X(R) empty, but X(C) not empty. (In fact, X(C) can be identified with C − 0.) By contrast, a scheme X over a field k has enough information to determine the set X(E) of E rational points for every extension field E of k. (In particular, the closed subscheme of A defined by x2 + y2 = −1 is a nonempty topological space.) Generic point. The points of the affine line A, as a scheme, are its complex points (one for each complex number) together with one generic point (whose closure is the whole scheme). The generic point is the image of a natural morphism Spec(C(x)) → A, where C(x) is the field of rational functions in one variable. To see why it is useful to have an actual "generic point" in the scheme, consider the following example. Let X be the plane curve y2 = x(x−1)(x−5) over the complex numbers. This is a closed subscheme of A. It can be viewed as a ramified double cover of the affine line A by projecting to the x coordinate. The fiber of the morphism X → A1 over the generic point of A1 is exactly the generic point of X, yielding the morphism This in turn is equivalent to the degree 2 extension of fields Thus, having an actual generic point of a variety yields a geometric relation between a degree 2 morphism of algebraic varieties and the corresponding degree 2 extension of function fields. This generalizes to a relation between the fundamental group (which classifies covering spaces in topology) and the Galois group (which classifies certain field extensions). Indeed, Grothendieck's theory of the étale fundamental group treats the fundamental group and the Galois group on the same footing. Nilpotent elements. Let X be the closed subscheme of the affine line A defined by x2 = 0, sometimes called a fat point. The ring of regular functions on X is C[x]/(x2); in particular, the regular function x on X is nilpotent but not zero. To indicate the meaning of this scheme: two regular functions on the affine line have the same restriction to X if and only if they have the same value and first derivative at the origin. Allowing such non reduced schemes brings the ideas of calculus and infinitesimals into algebraic geometry. For a more elaborate example, one can describe all the zero dimensional closed subschemes of degree 2 in a smooth complex variety Y. Such a subscheme consists of either two distinct complex points of Y, or else a subscheme isomorphic to X = Spec C[x]/(x2) as in the previous paragraph. Subschemes of the latter type are determined by a complex point y of Y together with a line in the tangent space TyY. This again indicates that non reduced subschemes have geometric meaning, related to derivatives and tangent vectors.

Совместимые снопы

Центральным понятием теории схем является понятие когерентных пучков, обобщающее понятие (алгебраических) векторных расслоений. Для схемы X начинают с рассмотрения абелевой категории модулей OX, которые представляют собой пучки абелевых групп на X, образующие модуль над пучком регулярных функций OX. В частности, модуль M над коммутативным кольцом R определяет связанный модуль OX на X = Spec(R). Квазикогерентный пучок на схеме X – это модуль OX, являющийся пучком, ассоциированным с модулем на каждом аффинном открытом подмножестве X. Наконец, когерентный пучок (например, на ноэтерианской схеме X) – это модуль OX, являющийся пучком, ассоциированным с конечно порожденным модулем на каждом аффинном открытом подмножестве X. Когерентные пучки включают в себя важный класс векторных расслоений, которые являются пучками, локально происходящими из конечно порожденных свободных модулей. Примером может служить тангенциальное расслоение гладкого многообразия над полем. Однако когерентные пучки богаче; например, векторное расслоение на замкнутой подсхеме Y схемы X можно рассматривать как когерентный пучок на X, равный нулю вне Y (посредством прямой конструкции образа). Таким образом, когерентные пучки на схеме X содержат информацию обо всех замкнутых подсхемах X. Более того, когомологии пучков обладают хорошими свойствами для когерентных (и квазикогерентных) пучков. Полученная теория когомологий когерентных пучков, возможно, является основным техническим инструментом в алгебраической геометрии.

Обобщения

Считается, что схема, рассматриваемая как функтор точек, является функтором, который представляет собой пучок множеств для топологии Зариски на категории коммутативных колец, и который локально в топологии Зариски является аффинной схемой. Это можно обобщить несколькими способами. Один из них — использование этальной топологии. Майкл Артин определил алгебраическое пространство как функтор, являющийся пучком в этальной топологии, и который локально в этальной топологии является аффинной схемой. Эквивалентно, алгебраическое пространство — это фактор-пространство схемы по отношению эквивалентности эталя. Мощный результат, теорема о представимости Артина, дает простые условия для того, чтобы функтор был представлен алгебраическим пространством. Дальнейшее обобщение — идея стека. Говоря упрощенно, алгебраические стеки обобщают алгебраические пространства, имея алгебраическую группу, прикрепленную к каждой точке, которая рассматривается как группа автоморфизмов этой точки. Например, любое действие алгебраической группы G на алгебраическом многообразии X определяет фактор-стек [X/G], который запоминает подгруппы стабилизаторов для действия G. В более общем случае, модульные пространства в алгебраической геометрии часто лучше всего рассматривать как стеки, тем самым отслеживая группы автоморфизмов классифицируемых объектов. Гротендик изначально ввел стеки как инструмент для теории спуска. В этой формулировке стеки (неформально говоря) представляют собой пучки категорий. Исходя из этого общего понятия, Артин определил более узкий класс алгебраических стеков (или «стеков Артина»), которые можно рассматривать как геометрические объекты. К ним относятся стеки Делинье — Мамфорда (похожие на орбифолды в топологии), для которых стабилизирующие группы конечны, и алгебраические пространства, для которых стабилизирующие группы тривиальны. Теорема Кила — Мори утверждает, что алгебраический стек с конечными стабилизирующими группами имеет грубое модульное пространство, которое является алгебраическим пространством. Другой тип обобщения — обогащение пучка структур, приближающее алгебраическую геометрию к теории гомотопий. В этом контексте, известном как производная алгебраическая геометрия или «спектральная алгебраическая геометрия», пучок структур заменяется гомотопическим аналогом пучка коммутативных колец (например, пучком E-бесконечных кольцевых спектров). Эти пучки допускают алгебраические операции, которые ассоциативны и коммутативны лишь с точностью до отношения эквивалентности. Взятие фактор-пространства по этому отношению эквивалентности дает пучок структуры обычной схемы. Однако, не беря фактор-пространство, мы получаем теорию, которая может запоминать более высокую информацию, подобно тому, как производные функторы в гомологической алгебре дают более высокую информацию об операциях, таких как тензорное произведение и функтор Hom на модулях.

Considered as its functor of points, a scheme is a functor that is a sheaf of sets for the Zariski topology on the category of commutative rings, and that, locally in the Zariski topology, is an affine scheme. This can be generalized in several ways. One is to use the étale topology. Michael Artin defined an algebraic space as a functor that is a sheaf in the étale topology and that, locally in the étale topology, is an affine scheme. Equivalently, an algebraic space is the quotient of a scheme by an étale equivalence relation. A powerful result, the Artin representability theorem, gives simple conditions for a functor to be represented by an algebraic space. A further generalization is the idea of a stack. Crudely speaking, algebraic stacks generalize algebraic spaces by having an algebraic group attached to each point, which is viewed as the automorphism group of that point. For example, any action of an algebraic group G on an algebraic variety X determines a quotient stack [X/G], which remembers the stabilizer subgroups for the action of G. More generally, moduli spaces in algebraic geometry are often best viewed as stacks, thereby keeping track of the automorphism groups of the objects being classified. Grothendieck originally introduced stacks as a tool for the theory of descent. In that formulation, stacks are (informally speaking) sheaves of categories. From this general notion, Artin defined the narrower class of algebraic stacks (or "Artin stacks"), which can be considered geometric objects. These include Deligne–Mumford stacks (similar to orbifolds in topology), for which the stabilizer groups are finite, and algebraic spaces, for which the stabilizer groups are trivial. The Keel–Mori theorem says that an algebraic stack with finite stabilizer groups has a coarse moduli space that is an algebraic space. Another type of generalization is to enrich the structure sheaf, bringing algebraic geometry closer to homotopy theory. In this setting, known as derived algebraic geometry or "spectral algebraic geometry", the structure sheaf is replaced by a homotopical analog of a sheaf of commutative rings (for example, a sheaf of E infinity ring spectra). These sheaves admit algebraic operations that are associative and commutative only up to an equivalence relation. Taking the quotient by this equivalence relation yields the structure sheaf of an ordinary scheme. Not taking the quotient, however, leads to a theory that can remember higher information, in the same way that derived functors in homological algebra yield higher information about operations such as tensor product and the Hom functor on modules.