Введение
Функция веса — это математический инструмент, используемый при вычислении суммы, интеграла или среднего значения для придания некоторым элементам большего "веса" или влияния на результат, чем другим элементам в том же множестве. Результатом применения функции веса является взвешенная сумма или взвешенное среднее. Функции веса часто встречаются в статистике и анализе и тесно связаны с понятием меры. Функции веса могут применяться как в дискретных, так и в непрерывных случаях. Они могут использоваться для построения систем математического анализа, называемых "взвешенным исчислением" и "мета-исчислением".
A weight function is a mathematical device used when performing a sum, integral, or average to give some elements more "weight" or influence on the result than other elements in the same set. The result of this application of a weight function is a weighted sum or weighted average. Weight functions occur frequently in statistics and analysis, and are closely related to the concept of a measure. Weight functions can be employed in both discrete and continuous settings. They can be used to construct systems of calculus called "weighted calculus" and "meta calculus".
Статистика
В статистике взвешенные средние обычно используются для компенсации систематических ошибок. Для величины, измеренной несколько независимых раз с дисперсией , наилучшая оценка сигнала получается путем усреднения всех измерений с весом , а результирующая дисперсия меньше, чем дисперсия каждого из независимых измерений. Метод максимального правдоподобия взвешивает разницу между моделью и данными, используя те же веса. Математическое ожидание случайной величины является взвешенным средним возможных значений, которые она может принимать, где весами служат соответствующие вероятности. В более общем случае, математическое ожидание функции случайной величины является взвешенным средним значений, которые функция принимает для каждого возможного значения случайной величины. В регрессиях, где зависимая переменная предполагается зависящей как от текущих, так и от запаздывающих (прошлых) значений независимой переменной, оценивается функция распределенного лага, которая представляет собой взвешенное среднее текущих и различных запаздывающих значений независимой переменной. Аналогично, модель скользящего среднего определяет изменяющуюся переменную как взвешенное среднее текущих и различных запаздывающих значений случайной величины.
The expected value of a random variable is the weighted average of the possible values it might take on, with the weights being the respective probabilities. More generally, the expected value of a function of a random variable is the probability weighted average of the values the function takes on for each possible value of the random variable. In regressions in which the dependent variable is assumed to be affected by both current and lagged (past) values of the independent variable, a distributed lag function is estimated, this function being a weighted average of the current and various lagged independent variable values. Similarly, a moving average model specifies an evolving variable as a weighted average of current and various lagged values of a random variable.
Непрерывные веса
В непрерывном случае вес — это положительная мера, например, на некоторой области , которая обычно является подмножеством евклидова пространства , например, может быть интервалом . Здесь — мера Лебега, а — неотрицательная измеримая функция. В этом контексте функция веса иногда называется плотностью.