Введение

Отрасль алгебры, изучающая коммутативные кольца, является разделом алгебры.

Коммутативная алгебра, первоначально известная как теория идеалов, — это раздел алгебры, изучающий коммутативные кольца, их идеалы и модули над такими кольцами. Алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел опираются на коммутативную алгебру. Яркими примерами коммутативных колец являются кольца многочленов, кольца алгебраических целых чисел, включая обычные целые числа, и p-адические целые числа. Коммутативная алгебра является основным техническим инструментом алгебраической геометрии, и многие результаты и понятия коммутативной алгебры тесно связаны с геометрическими понятиями. Изучение колец, которые не обязательно коммутативны, известно как некоммутативная алгебра; она включает в себя теорию колец, теорию представлений и теорию банаховых алгебр.

Обзор

Коммутативная алгебра — это, по сути, изучение колец, возникающих в алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии. В связи с алгебраической теорией чисел было разработано несколько концепций коммутативных алгебр, таких как кольца Дедекинда (основной класс коммутативных колец, возникающих в алгебраической теории чисел), интегральные расширения и кольца оценки. Многочленные кольца от нескольких переменных над полем являются примерами коммутативных колец. Поскольку алгебраическая геометрия по существу изучает общие нули этих колец, многие результаты и понятия алгебраической геометрии имеют аналоги в коммутативной алгебре, и их названия часто отражают их геометрическое происхождение; например, «размерность Крулла», «локализация кольца», «локальное кольцо», «регулярное кольцо». Аффинное алгебраическое многообразие соответствует простому идеалу в многочленном кольце, а точки такого аффинного многообразия соответствуют максимальным идеалам, содержащим этот простой идеал. Топология Зариски, первоначально определенная на алгебраическом многообразии, была расширена на множества простых идеалов любого коммутативного кольца; для этой топологии замкнутыми множествами являются множества простых идеалов, содержащих данный идеал. Спектр кольца — это окольцованное пространство, образованное простыми идеалами, снабженными топологией Зариски, и локализациями кольца по открытым множествам базиса этой топологии. Это отправная точка теории схем, обобщения алгебраической геометрии, введенного Гротендиком, которое опирается на коммутативную алгебру и, в свою очередь, стимулировало многие развития в коммутативной алгебре.

История

Предмет, первоначально известный как теория идеалов, берет начало в работах Рихарда Дедекинда по идеалам, которые, в свою очередь, опирались на более ранние работы Эрнста Куммера и Леопольда Кронекера. Позднее Давид Гильберт ввел термин «кольцо» для обобщения более раннего термина «кольцо чисел». Гильберт предложил более абстрактный подход, призванный заменить более конкретные и ориентированные на вычисления методы, основанные на таких областях, как комплексный анализ и классическая инвариантная теория. В свою очередь, Гильберт оказал значительное влияние на Эмми Ноэтер, которая переформулировала многие прежние результаты в терминах условия восходящей цепи, ныне известного как условие Ноэтера. Важной вехой стала работа студента Гильберта Эммануэля Ласкера, который ввел понятие первичных идеалов и доказал первую версию теоремы Ласкера — Ноэтер. Главной фигурой, ответственной за становление коммутативной алгебры как самостоятельной дисциплины, был Вольфганг Крулл, который ввел фундаментальные понятия локализации и дополнения кольца, а также регулярных локальных колец. Он установил понятие размерности Крулла кольца, сначала для ноэтерианских колец, а затем расширил свою теорию, включив в нее общие кольца оценки и кольца Крулла. И по сей день основная теорема Крулла об идеалах считается важнейшей основополагающей теоремой в коммутативной алгебре. Эти результаты подготовили почву для введения коммутативной алгебры в алгебраическую геометрию, идея, которая произвела революцию в последней. Значительная часть современного развития коммутативной алгебры акцентируется на модулях. Как идеалы кольца R, так и R-алгебры являются частными случаями R-модулей, поэтому теория модулей охватывает как теорию идеалов, так и теорию расширений колец. Хотя зачатки этого подхода уже присутствовали в работах Кронекера, современный подход к коммутативной алгебре с использованием теории модулей обычно приписывается Круллу и Ноэтер.

Кольца Ноэтериана

Кольцо Ноэтера, названное в честь Эмми Ноэтер, — это кольцо, в котором каждый идеал конечно порождён; то есть, любой элемент любого идеала может быть представлен как линейная комбинация конечного числа элементов с коэффициентами из кольца. Многие обычно рассматриваемые коммутативные кольца являются ноэтерианскими, в частности, каждое поле, кольцо целых чисел и каждое многочленное кольцо от одного или нескольких переменных над ними. Тот факт, что многочленные кольца над полем ноэтерианские, называется теоремой Гильберта об основаниях. Более того, многие построения колец сохраняют ноэтерианское свойство. В частности, если коммутативное кольцо R ноэтерианское, то же самое верно для любого многочленного кольца над ним, а также для любого факторкольца, локализации или завершения этого кольца. Важность ноэтерианского свойства заключается в его распространённости, а также в том, что многие важные теоремы коммутативной алгебры требуют, чтобы рассматриваемые кольца были ноэтерианскими. Это относится, в частности, к теореме Ласкера — Ноэтер, теореме Крулла об пересечениях и лемме Накаямы. Кроме того, если кольцо ноэтерианское, то оно удовлетворяет условию убывающей цепи для простых идеалов, что влечёт за собой конечность размерности Крулла для каждого ноэтерианского локального кольца.

Локализация

Локализация — это формальный способ введения "знаменателей" в данное кольцо или модуль. То есть, она создает новое кольцо/модуль из существующего, состоящее из дробей, где знаменатели s принадлежат заданному подмножеству S кольца R. Классическим примером является построение кольца Q рациональных чисел из кольца Z целых чисел.

Завершение

Завершение — это любой из нескольких связанных функторов на кольцах и модулях, результатом применения которых являются полные топологические кольца и модули. Завершение аналогично локализации, и вместе они представляют собой одни из основных инструментов для изучения коммутативных колец. Полные коммутативные кольца имеют более простую структуру, чем общие, и к ним применима лемма Хенселя.

Топология Зариски на простых идеалах

Топология Зариски определяет топологию на спектре кольца (множестве простых идеалов). В этой формулировке замкнутые множества Зариски принимаются за множества {P ∈ Spec(A) | I ⊆ P}, где A — фиксированное коммутативное кольцо, а I — идеал. Это определяется по аналогии с классической топологией Зариски, где замкнутые множества в аффинном пространстве определяются полиномиальными уравнениями. Чтобы увидеть связь с классической картиной, заметим, что для любого множества S полиномов (над алгебраически замкнутым полем) из теоремы Гильберта о нулях следует, что точки V(S) (в прежнем смысле) — это точно кортежи (a₁, …, aₙ) такие, что идеал (x₁ - a₁, …, xₙ - aₙ) содержит S; более того, это максимальные идеалы, и по "слабой" теореме Гильберта о нулях идеал любого аффинного координатного кольца является максимальным тогда и только тогда, когда он имеет такой вид. Таким образом, V(S) "эквивалентно" множеству максимальных идеалов, содержащих S. Новшеством Гротендика при определении Spec было заменить максимальные идеалы на все простые идеалы; в этой формулировке естественно просто обобщить это наблюдение на определение замкнутого множества в спектре кольца.

Связи с алгебраической геометрией

Коммутативная алгебра (в виде колец многочленов и их частных, используемых в определении алгебраических многообразий) всегда была частью алгебраической геометрии. Однако в конце 1950-х годов алгебраические многообразия были включены в концепцию схемы Александра Гротендика. Их локальными объектами являются аффинные схемы или простые спектры, которые являются локально кольцевыми пространствами, образующими категорию, антиэквивалентную (двойственную) категории коммутативных унитальных колец, расширяя двойственность между категорией аффинных алгебраических многообразий над полем k и категорией конечно порожденных редуцированных k-алгебр. Склейка происходит вдоль топологии Зариски; можно склеивать в рамках категории локально кольцевых пространств, а также, используя вложение Йонеды, в рамках более абстрактной категории предпучков множеств над категорией аффинных схем. Топология Зариски в теоретико-множественном смысле затем заменяется топологией Зариски в смысле топологии Гротендика. Гротендик ввел топологии Гротендика, имея в виду более экзотические, но геометрически более тонкие и чувствительные примеры, чем грубая топология Зариски, а именно этальную топологию и две плоские топологии Гротендика: fppf и fpqc. В настоящее время другие примеры также стали важными, включая топологию Нисневича. Кроме того, пучки можно обобщить до стеков в смысле Гротендика, обычно с некоторыми дополнительными условиями представимости, что приводит к стекам Артина и, еще более тонким, стекам Делинье — Мамфорда, которые часто называют алгебраическими стеками.