Аксиома бесконечности в теории множеств Цермело — Френкеля
Axiom of infinity
Аксиома бесконечности в теории множеств Цермело-Френкеля: гарантия существования бесконечного множества, содержащего натуральные числа. Недоказуема в ZFC.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Аксиома теории множеств Цермело — Френкеля
Axiom of Zermelo Fraenkel set theory
В аксиоматической теории множеств и в областях математики и философии, использующих её, аксиома бесконечности является одной из аксиом теории множеств Цермело — Френкеля. Она гарантирует существование как минимум одного бесконечного множества, а именно множества, содержащего натуральные числа. Впервые она была опубликована Эрнстом Цермело в 1908 году как часть его теории множеств.
In axiomatic set theory and the branches of mathematics and philosophy that use it, the axiom of infinity is one of the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory. It guarantees the existence of at least one infinite set, namely a set containing the natural numbers. It was first published by Ernst Zermelo as part of his set theory in 1908.
Независимость
Аксиому бесконечности нельзя доказать из других аксиом ZFC, если они согласованы. (Чтобы понять почему, заметим, что ZFC доказывает согласованность (ZFC − Аксиомы бесконечности) и используем вторую теорему о неполноте Гёделя.) Отрицание аксиомы бесконечности нельзя вывести из остальных аксиом ZFC, если они согласованы. (Это эквивалентно утверждению, что ZFC согласована, если остальные аксиомы согласованы.) Мы полагаем, что это так, но не можем это доказать (если это истинно). Действительно, используя вселенную фон Неймана, мы можем построить модель для ZFC − Аксиомы бесконечности + (¬Аксиома бесконечности). Это класс наследственно конечных множеств с отношением принадлежности, унаследованным от них. Следует отметить, что если аксиома о пустом множестве не включается в эту систему (поскольку она выводима из ZF + Аксиомы бесконечности), то пустая область также удовлетворяет ZFC − Аксиомы бесконечности + ¬Аксиома бесконечности, поскольку все её аксиомы универсально квантифицированы и, следовательно, тривиально выполняются, если множеств не существует. Кардинальность множества натуральных чисел, алеф-нуль, обладает многими свойствами большого кардинала. Таким образом, аксиому бесконечности иногда рассматривают как первую аксиому большого кардинала, и, наоборот, аксиомы больших кардиналов иногда называют более сильными аксиомами бесконечности.
The axiom of infinity cannot be proved from the other axioms of ZFC if they are consistent. (To see why, note that ZFC Con(ZFC − Infinity) and use Gödel's Second incompleteness theorem.) The negation of the axiom of infinity cannot be derived from the rest of the axioms of ZFC, if they are consistent. (This is tantamount to saying that ZFC is consistent, if the other axioms are consistent.) We believe this, but cannot prove it (if it is true). Indeed, using the von Neumann universe, we can build a model of ZFC − Infinity + (¬Infinity). It is , the class of hereditarily finite sets, with the inherited membership relation. Note that if the axiom of the empty set is not taken as a part of this system (since it can be derived from ZF + Infinity), then the empty domain also satisfies ZFC − Infinity + ¬Infinity, as all of its axioms are universally quantified, and thus trivially satisfied if no set exists. The cardinality of the set of natural numbers, aleph null , has many of the properties of a large cardinal. Thus the axiom of infinity is sometimes regarded as the first large cardinal axiom, and conversely large cardinal axioms are sometimes called stronger axioms of infinity.