Введение

В теории множеств кардинал Вуддина (названный в честь В. Хью Вуддина) — это кардинальное число, такое, что для всех функций f существует кардинал κ с κ > f(α) для всех α и элементарное вложение j из вселенной фон Неймана V в транзитивную внутреннюю модель M с критической точкой κ и j(κ) = κ.

Эквивалентное определение: κ является кардиналом Вуддина тогда и только тогда, когда κ сильно недоступен и для всех кардиналов λ существует кардинал μ, который является сильным. Быть сильным означает, что для всех порядковых чисел α существует вложение j, являющееся элементарным с критической точкой α, такое, что j(α) = α и j(λ) = μ (см. также сильный кардинал). Кардиналу Вуддина предшествует стационарное множество измеримых кардиналов, и таким образом он является кардиналом Мало. Однако первый кардинал Вуддина не является даже слабо компактным.

Последствия

Кардиналы Вуддина важны в описательной теории множеств. По результату Мартина и Стила, существование бесконечного числа кардиналов Вуддина влечет проективную детерминированность, которая, в свою очередь, влечет, что каждое проективное множество измеримо по Лебегу, обладает свойством Байра (отличается от открытого множества скудным множеством, то есть множеством, являющимся счетным объединением нигде плотных множеств), и свойством совершенного множества (либо счетно, либо содержит совершенное подмножество). Состоятельность существования кардиналов Вуддина может быть доказана с использованием гипотез о детерминированности. Работая в ZF+AD+DC, можно доказать, что является кардиналом Вуддина в классе наследственно ординально определенных множеств. является первым ординалом, на который континуум нельзя отобразить ординально определенной сюръекцией (см. Θ (теория множеств)). Митчелл и Стил показали, что при допущении существования кардинала Вуддина, существует внутренняя модель, содержащая кардинал Вуддина, в которой существует хорошее упорядочение вещественных чисел, ◊ выполняется, и обобщенная гипотеза континуума выполняется. Шелах доказал, что если существование кардинала Вуддина состоятельно, то состоятельно насыщение нестационарного идеала на . Вуддин также доказал равносостоятельность существования бесконечного числа кардиналов Вуддина и существования плотного идеала над .

Вуднин-в-следующем-допустимых кардиналов

Пусть κ – кардинал, а α – наименьшее допустимое ординальное число, большее κ. Кардинал κ называется кардиналом Вудина в следующем допустимом, если для любой функции f, такой что f: α → κ, существует β < α, такое что f(β) = β, и существует расширитель E, такой что E ⊆ κ и E ∩ α = {β}. Эти кардиналы возникают при построении моделей из итерационных деревьев. С. 4