Введение

Теория множеств – это раздел математики, изучающий множества.

Теория множеств – это раздел математической логики, изучающий множества, которые можно неформально описать как совокупности объектов. Хотя в множество можно объединять объекты любого рода, теория множеств как раздел математики в основном рассматривает те, которые имеют отношение к математике в целом. Современное изучение теории множеств было начато немецкими математиками Рихардом Дедекиндом и Георгом Кантором в 1870-х годах. В частности, Георг Кантор обычно считается основателем теории множеств. Неформализованные системы, исследуемые на этом раннем этапе, называются наивной теорией множеств. После обнаружения парадоксов в наивной теории множеств (таких как парадокс Рассела, парадокс Кантора и парадокс Бурали-Форти) в начале двадцатого века было предложено несколько аксиоматических систем, среди которых теория множеств Цермело — Френкеля (с аксиомой выбора или без неё) до сих пор является наиболее известной и наиболее изученной. Теория множеств обычно используется в качестве фундаментальной системы для всей математики, особенно в форме теории множеств Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Помимо своей фундаментальной роли, теория множеств также предоставляет основу для разработки математической теории бесконечности и имеет различные применения в информатике (например, в теории реляционной алгебры), философии, формальной семантике и эволюционной динамике. Её фундаментальная значимость, наряду с парадоксами, последствиями для понятия бесконечности и многочисленными приложениями, сделали теорию множеств областью, представляющей большой интерес для логиков и философов математики. Современные исследования в области теории множеств охватывают широкий спектр тем, от структуры вещественной прямой до изучения непротиворечивости больших кардиналов.

История

Математические темы обычно возникают и развиваются в результате взаимодействия многих исследователей. Однако теория множеств была заложена одной работой в 1874 году, написанной Георгом Кантором: «О свойстве совокупности всех вещественных алгебраических чисел». Начиная с V века до н.э., с греческого математика Зенона Элейского на Западе и ранних индийских математиков на Востоке, математики сталкивались с проблемой понимания бесконечности. Особенно значимы работы Бернарда Болцано в первой половине XIX века. Современное понимание бесконечности сформировалось в 1870–1874 годах и было обусловлено работами Кантора в области вещественного анализа.

Основные понятия и обозначение

Теория множеств начинается с фундаментального бинарного отношения между объектом o и множеством A. Если o является элементом (или членом) A, используется обозначение o ∈ A. Множество описывается перечислением элементов, разделенных запятыми, или характеризующим свойством его элементов, в фигурных скобках { }. Поскольку множества являются объектами, отношение принадлежности может также относиться к множествам. Вытекающим бинарным отношением между двумя множествами является отношение подмножества, также называемое включением множества. Если все элементы множества A также являются элементами множества B, то A является подмножеством B, что обозначается как A ⊆ B. Например, {1, 2} является подмножеством {1, 2, 3}, и {2} также, но {1, 4} – нет. Как следует из этого определения, множество является подмножеством самого себя. В случаях, когда такая возможность нежелательна или целесообразно её исключить, определяется термин «собственное подмножество». Множество A называется собственным подмножеством B, если и только если A является подмножеством B, но A не равно B. Также, 1, 2 и 3 являются элементами множества {1, 2, 3}, но не являются его подмножествами; и, в свою очередь, подмножества, такие как {1}, не являются элементами множества {1, 2, 3}. Подобно тому, как в арифметике используются бинарные операции над числами, в теории множеств используются бинарные операции над множествами. Ниже приведен частичный список этих операций: Объединение множеств A и B, обозначаемое A ∪ B, – это множество всех объектов, которые являются элементами A, или B, или обоих. Например, объединение {1, 2, 3} и {2, 3, 4} – это множество {1, 2, 3, 4}. Пересечение множеств A и B, обозначаемое A ∩ B, – это множество всех объектов, которые являются элементами как A, так и B. Например, пересечение {1, 2, 3} и {2, 3, 4} – это множество {2, 3}. Разность множеств U и A, обозначаемая U \ A, – это множество всех элементов U, которые не являются элементами A. Разность множеств {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} равна {1}, а, наоборот, разность множеств {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} равна {4}. Когда A является подмножеством U, разность U \ A также называется дополнением A в U. В этом случае, если выбор U ясен из контекста, вместо U \ A иногда используется обозначение Aᶜ, особенно если U является универсальным множеством, как при изучении диаграмм Венна. Симметричная разность множеств A и B, обозначаемая A △ B или A ⊖ B, – это множество всех объектов, которые являются элементами ровно одного из множеств A и B (элементы, которые принадлежат одному из множеств, но не обоим). Например, для множеств {1, 2, 3} и {2, 3, 4} симметричная разность – это множество {1, 4}. Она равна разности объединения и пересечения, то есть (A ∪ B) \ (A ∩ B) или (A \ B) ∪ (B \ A). Декартово произведение A и B, обозначаемое A × B, – это множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары (a, b), где a является элементом A, а b – элементом B. Например, декартово произведение {1, 2} и {красный, белый} составляет {(1, красный), (1, белый), (2, красный), (2, белый)}. Множество степеней множества A, обозначаемое P(A), – это множество, элементами которого являются все возможные подмножества A. Например, множество степеней {1, 2} – это { {}, {1}, {2}, {1, 2} }. Некоторые базовые множества, имеющие центральное значение, – это множество натуральных чисел, множество действительных чисел и пустое множество – единственное множество, не содержащее элементов. Пустое множество также иногда называют нулевым множеством, хотя это название неоднозначно и может приводить к различным интерпретациям.

Онтология

Множество называется чистым, если все его элементы — множества, все элементы его элементов — множества, и так далее. Например, множество, содержащее только пустое множество, является непустым чистым множеством. В современной теории множеств принято ограничивать внимание вселенной фон Неймана чистых множеств, и многие системы аксиоматической теории множеств разработаны для аксиоматизации исключительно чистых множеств. Это ограничение имеет множество технических преимуществ, и практически ничего не теряется в общности, поскольку по существу все математические понятия могут быть смоделированы с помощью чистых множеств. Множества во вселенной фон Неймана организованы в кумулятивную иерархию, основанную на степени вложенности их элементов, элементов элементов и так далее. Каждому множеству в этой иерархии присваивается (трансфинитной рекурсией) порядковый номер, известный как его ранг. Ранг чистого множества определяется как наименьший порядковый номер, строго превосходящий ранг любого из его элементов. Например, пустому множеству присваивается ранг 0, а множеству, содержащему только пустое множество, присваивается ранг 1. Для каждого порядкового числа множество определяется как состоящее из всех чистых множеств с рангом, меньшим чем . Вся вселенная фон Неймана обозначается .

Приложения

Многие математические понятия могут быть определены точно, используя лишь понятия теории множеств. Например, столь разнообразные математические структуры, как графы, многообразия, кольца, векторные пространства и реляционные алгебры, могут быть определены как множества, удовлетворяющие различным (аксиоматическим) свойствам. Отношения эквивалентности и порядка повсеместно встречаются в математике, и теория математических отношений может быть описана средствами теории множеств. Теория множеств также является многообещающей основополагающей системой для значительной части математики. С момента публикации первого тома "Principia Mathematica" утверждалось, что большинство (или даже все) математических теорем можно вывести, используя тщательно разработанный набор аксиом теории множеств, дополненный множеством определений и логикой первого или второго порядка. Например, свойства натуральных и действительных чисел могут быть выведены в рамках теории множеств, поскольку каждую систему чисел можно отождествить с множеством классов эквивалентности относительно подходящего отношения эквивалентности, областью определения которого является некоторое бесконечное множество. Теория множеств как основание математического анализа, топологии, абстрактной алгебры и дискретной математики также не вызывает споров; математики признают (в принципе), что теоремы в этих областях могут быть выведены из соответствующих определений и аксиом теории множеств. Однако остается фактом, что лишь немногие полные выводы сложных математических теорем из теории множеств были формально верифицированы, поскольку такие формальные выводы часто значительно длиннее доказательств на естественном языке, которые обычно представляют математики. Один из проектов верификации, Metamath, включает в себя выводы, написанные людьми и проверенные компьютером, для более чем 12 000 теорем, начиная с теории множеств ZFC, логики первого порядка и логики высказываний. ZFC и аксиома выбора недавно нашли применение в эволюционной динамике, углубляя понимание общепризнанных моделей эволюции и взаимодействия.

Области исследования

Теория множеств — важная область исследований в математике, включающая множество взаимосвязанных направлений.

Теория комбинаторных множеств

Теория комбинаторных множеств изучает расширения конечной комбинаторики на бесконечные множества. Это включает в себя исследование кардинальной арифметики и изучение обобщений теоремы Рамзи, таких как теорема Эрдеша-Радо.

Теория множеств

Теория описательных множеств изучает подмножества вещественной прямой и, в более общем смысле, подмножества польских пространств. Она начинается с изучения точечных классов в иерархии Бореля и расширяется на изучение более сложных иерархий, таких как проективная иерархия и иерархия Уоджа. Многие свойства множеств Бореля могут быть установлены в ZFC, но для доказательства этих свойств для более сложных множеств требуются дополнительные аксиомы, связанные с детерминированностью и большими кардиналами. Эффективная теория описательных множеств находится на стыке теории множеств и теории рекурсии. Она включает изучение точечных классов "светлого" типа и тесно связана с гиперарифметической теорией. Во многих случаях результаты классической теории описательных множеств имеют эффективные аналоги; в некоторых случаях новые результаты получаются путем первоначального доказательства эффективной версии, а затем её расширения ("релятивизации") для большей применимости. Недавнее направление исследований посвящено отношениям эквивалентности Бореля и более сложным определимым отношениям эквивалентности. Это имеет важные приложения к изучению инвариантов в различных областях математики.

Нечеткая теория множеств

В теории множеств, как её определил Кантор и аксиоматизировали Зермело и Френкель, объект либо принадлежит множеству, либо не принадлежит. В теории нечётких множеств это условие было смягчено Лотфи А. Заде, так что объект имеет степень принадлежности к множеству – число от 0 до 1. Например, степень принадлежности человека к множеству "высоких людей" более гибкая, чем простое "да" или "нет", и может быть представлена действительным числом, например, 0,75.

Теория внутренней модели

Внутренняя модель теории множеств Зермело — Фрэнкеля (ZF) — это транзитивный класс, включающий все ординалы и удовлетворяющий всем аксиомам ZF. Каноническим примером является конструктивная вселенная L, разработанная Гёделем. Изучение внутренних моделей интересно, в частности, тем, что позволяет доказывать результаты о непротиворечивости. Например, можно показать, что независимо от того, удовлетворяет ли модель V ZF гипотезе континуума или аксиоме выбора, внутренняя модель L, построенная внутри исходной модели, будет удовлетворять как обобщённой гипотезе континуума, так и аксиоме выбора. Следовательно, предположение о непротиворечивости ZF (то есть о существовании хотя бы одной модели ZF) влечёт за собой непротиворечивость ZF вместе с этими двумя принципами. Изучение внутренних моделей широко распространено в исследованиях детерминированности и больших кардиналов, особенно при рассмотрении аксиом, таких как аксиома детерминированности, которые противоречат аксиоме выбора. Даже если фиксированная модель теории множеств удовлетворяет аксиоме выбора, внутренняя модель может ей не удовлетворять. Например, существование достаточно больших кардиналов влечёт за собой существование внутренней модели, удовлетворяющей аксиоме детерминированности (и, следовательно, не удовлетворяющей аксиоме выбора).

Большие кардиналы

Большой кардинал — это кардинальное число, обладающее дополнительным свойством. Изучается множество таких свойств, включая недоступные кардиналы, измеримые кардиналы и многие другие. Эти свойства обычно подразумевают, что кардинальное число должно быть очень велико, и существование кардинала с данным свойством нельзя доказать в теории множеств Цермело — Френкеля.

Определенность

Детерминация относится к тому факту, что при определенных предположениях некоторые двухместные игры с полной информацией предопределены с самого начала в том смысле, что у одного из игроков должна быть выигрышная стратегия. Существование этих стратегий имеет важные последствия в описательной теории множеств, поскольку предположение о детерминированности более широкого класса игр часто влечет за собой, что более широкий класс множеств будет обладать топологическим свойством. Аксиома детерминированности (АД) является важным объектом изучения; хотя она несовместима с аксиомой выбора, АД подразумевает, что все подмножества вещественной прямой хорошо себя ведут (в частности, измеримы и обладают свойством совершенного множества). АД может быть использована для доказательства того, что степени Уэджа имеют элегантную структуру.

Принуждение

Пол Коэн изобрел метод форсинга (forcing) в процессе поиска модели ZFC, в которой гипотеза континуума не выполняется, или модели ZF, в которой аксиома выбора не выполняется. Форсинг присоединяет к заданной модели теории множеств дополнительные множества, чтобы создать более крупную модель со свойствами, определяемыми (то есть "вынужденными") конструкцией и исходной моделью. Например, конструкция Коэна присоединяет дополнительные подмножества натуральных чисел, не изменяя кардинальные числа исходной модели. Форсинг также является одним из двух методов доказательства относительной непротиворечивости с использованием финитистических методов, другим методом являются булевозначные модели.

Кардинальные инварианты

Кардинальный инвариант — это свойство действительной прямой, измеряемое кардинальным числом. Например, хорошо изученным инвариантом является наименьшая кардинальность семейства ничтожных множеств действительных чисел, объединение которых составляет всю действительную прямую. Эти инварианты в том смысле, что любые две изоморфные модели теории множеств должны давать одно и то же кардинальное число для каждого инварианта. Изучено множество кардинальных инвариантов, и связи между ними часто сложны и связаны с аксиомами теории множеств.

Топология теории множеств

Теоретическая топология множеств изучает вопросы общей топологии, носящие характер теории множеств или требующие для своего решения продвинутых методов теории множеств. Многие из этих теорем независимы от ZFC и требуют для своего доказательства более сильных аксиом. Знаменитой проблемой является вопрос о нормальном пространстве Мура – вопрос общей топологии, который интенсивно исследовался. Ответ на вопрос о нормальном пространстве Мура в конечном итоге был доказан как независимый от ZFC.

Возражения против теории множеств

С самого начала существования теории множеств некоторые математики возражали против ее использования в качестве основания математики: см. Споры о теории Кантора. Наиболее распространенное возражение против теории множеств, которое Кронекер высказал в первые годы ее развития, исходит из конструктивистского взгляда на математику как на область, тесно связанную с вычислениями. Если принять эту точку зрения, то рассмотрение бесконечных множеств, как в наивной, так и в аксиоматической теории множеств, вводит в математику методы и объекты, которые не поддаются вычислению даже в принципе. Возможность конструктивизма в качестве альтернативного основания математики была значительно расширена благодаря влиятельной книге Эрретта Бишопа «Основы конструктивного анализа». Другое возражение, выдвинутое Анри Пуанкаре, заключается в том, что определение множеств с использованием аксиоматических схем спецификации и замены, а также аксиомы множества мощностей, вносит непредсказуемость, своего рода круговоротность, в определения математических объектов. Область математики, основанной на предсказуемости, хотя и меньше, чем область, охватываемая общепринятой теорией Цермело — Френкеля, значительно больше, чем область конструктивной математики, настолько, что Соломон Феферман заявил, что «вся прикладная к науке математика может быть разработана [с использованием предсказующих методов]». Людвиг Витгенштейн философски критиковал теорию множеств за ее связь с математическим платонизмом. Он писал, что «теория множеств неверна», поскольку она строится на «бессмыслице» фиктивного символизма, содержит «вредные идиомы» и бессмысленно говорить о «всех числах». Витгенштейн отождествлял математику с алгоритмическим человеческим дедуктивным мышлением; потребность в надежном основании для математики казалась ему бессмысленной. Более того, поскольку человеческие усилия неизбежно конечны, философия Витгенштейна требовала онтологической приверженности радикальному конструктивизму и конетизму. Метаматематические утверждения — которые, по мнению Витгенштейна, включали любое утверждение, квантифицирующее бесконечные области, и, следовательно, почти всю современную теорию множеств — не являются математикой. Лишь немногие современные философы приняли взгляды Витгенштейна после вопиющей ошибки в «Замечаниях об основаниях математики»: Витгенштейн попытался опровергнуть теоремы о неполноте Гёделя, прочитав лишь реферат. Как отмечали рецензенты Крайзель, Бернайс, Дамметт и Гудстейн, многие из его критических замечаний не относились к полной статье. Лишь недавно философы, такие как Криспин Райт, начали реабилитировать аргументы Витгенштейна. Теоретики категорий предложили теорию топосов как альтернативу традиционной аксиоматической теории множеств. Теория топосов может интерпретировать различные альтернативы этой теории, такие как конструктивизм, теория конечных множеств и вычислимая теория множеств. Топосы также предоставляют естественную среду для принуждения и обсуждения независимости аксиомы выбора от ZF, а также служат основой для бесточечной топологии и пространств Стоуна. Активной областью исследований являются унивалентные основания и связанная с ними теория гомотопий. В рамках теории гомотопий множество можно рассматривать как гомотопию 0-го типа, а универсальные свойства множеств возникают из индуктивных и рекурсивных свойств высших индуктивных типов. Принципы, такие как аксиома выбора и закон исключенного третьего, могут быть сформулированы таким образом, чтобы соответствовать классической формулировке в теории множеств или, возможно, в спектре различных способов, уникальных для теории типов. Некоторые из этих принципов могут быть доказаны как следствие других принципов. Разнообразие формулировок этих аксиоматических принципов позволяет провести детальный анализ формулировок, необходимых для получения различных математических результатов.

Теория множеств в математическом образовании

Поскольку теория множеств приобрела популярность как основа современной математики, появилась поддержка идеи введения основ наивной теории множеств на ранних этапах математического образования. В США в 1960-х годах эксперимент «Новая математика» был направлен на обучение основным понятиям теории множеств, наряду с другими абстрактными концепциями, ученикам начальной школы, но вызвал значительную критику. Учебные программы по математике в европейских школах последовали этой тенденции и в настоящее время включают этот предмет на разных уровнях во всех классах. Диаграммы Венна широко используются для объяснения базовых теоретико-множественных отношений ученикам начальной школы (хотя Джон Венн первоначально разработал их как часть процедуры оценки обоснованности умозаключений в логике предикатов). Теория множеств используется для знакомства студентов с логическими операторами (NOT, AND, OR) и семантическим, или описательным (технически – интенсиональным) определением множеств (например, «месяцы, начинающиеся с буквы А»), что может быть полезно при изучении компьютерного программирования, поскольку булева логика используется в различных языках программирования. Аналогично, множества и другие коллекции, такие как мультимножества и списки, являются распространенными типами данных в информатике и программировании. Помимо этого, множества часто упоминаются в математическом обучении при обсуждении различных типов чисел (множество натуральных чисел, целых чисел, действительных чисел и т. д.), а также при определении математической функции как отношения от одного множества (области определения) к другому множеству (области значений).