Введение

Счётное пересечение открытых множеств
ОТОБРАЖАЕМОЕ ЗАГОЛОВКИЕ: Множество Gδ
В математической области топологии множество Gδ — это подмножество топологического пространства, являющееся счётным пересечением открытых множеств. Обозначение происходит от немецких существительных Gebiet и Durchschnitt. Исторически множества Gδ также назывались внутренними предельными множествами, но эта терминология больше не используется. Множества Gδ и их двойственные множества F являются вторым уровнем иерархии Бореля.

Определение

В топологическом пространстве множество Gδ является счётным пересечением открытых множеств. Множества Gδ точно соответствуют Π-уровням иерархии Бореля.

Примеры

Любое открытое множество тривиально является множеством Gδ. Иррациональные числа являются множеством Gδ в множестве действительных чисел. Их можно представить как счетное пересечение открытых множеств (где верхний индекс обозначает дополнение), где – рациональное число. Множество рациональных чисел не является множеством Gδ в . Если бы оно было счетным пересечением открытых множеств , то каждое из них было бы плотным в , поскольку само плотно в . Однако, вышеприведенное построение представило иррациональные числа как счетное пересечение открытых плотных подмножеств. Пересечение обоих этих множеств дает пустое множество как счетное пересечение открытых плотных множеств в , что является нарушением теоремы Бэра о категории. Множество точек непрерывности любой вещественнозначной функции является подмножеством Gδ ее области определения (см. раздел "Свойства" для более общего утверждения). Нулевое множество производной всюду дифференцируемой вещественнозначной функции на является множеством Gδ; оно может быть плотным множеством с пустым внутренним множеством, как показано построением Помпею. Множество функций в , не дифференцируемых ни в одной точке внутри , содержит плотное подмножество Gδ метрического пространства (см.).

Свойства

Понятие множеств Gδ в метрических (и топологических) пространствах связано с понятием полноты метрического пространства, а также с теоремой о категории Бейра. См. результат, касающийся полностью метризуемых пространств, в списке свойств ниже. Множества и их дополнения также важны в математическом анализе, особенно в теории меры.

Основные свойства

Дополнением множества Gδ является множество Fσ, и наоборот. Пересечение счётного числа множеств Gδ является множеством Gδ. Объединение конечного числа множеств Gδ является множеством Gδ. Счётное объединение множеств Gδ (которое называется множеством Gδσ) не является множеством Gδ в общем случае. Например, рациональные числа не образуют множество Gδ в ℝ. В топологическом пространстве нулевое множество каждой вещественнозначной непрерывной функции является (замкнутым) множеством Gδ, поскольку оно является пересечением открытых множеств {x : f(x) < ε}, где ε > 0. В метризуемом пространстве каждое замкнутое множество является множеством Gδ и, двойственно, каждое открытое множество является множеством Fσ. Действительно, замкнутое множество является нулевым множеством непрерывной функции d(x, A), где d(x, A) обозначает расстояние от точки x до множества A. То же самое верно для псевдометризуемых пространств. В первом счётном пространстве T1 каждый синглетон является множеством Gδ. Подпространство полностью метризуемого пространства само по себе является полностью метризуемым тогда и только тогда, когда оно является множеством Gδ в X. Подпространство польского пространства само по себе является польским тогда и только тогда, когда оно является множеством Gδ в X. Это следует из предыдущего результата о полностью метризуемых подпространствах и того факта, что каждое подпространство сепарабельного метрического пространства является сепарабельным. Топологическое пространство является польским тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно подмножеству Gδ компактного метрического пространства.

Набор непрерывности функций реальной стоимости

Множество точек, где функция из топологического пространства в метрическое пространство непрерывна, является множеством. Это связано с тем, что непрерывность в точке может быть определена формулой, а именно: для любого положительного целого числа n существует открытое множество, содержащее x, такое что для всех y в этом множестве выполняется условие f(y) близко к f(x). Если значение f(x) фиксировано, то множество x, для которых существует такое соответствующее открытое множество, само является открытым множеством (как объединение открытых множеств), а универсальный квантор по n соответствует (счетному) пересечению этих множеств. Следовательно, хотя иррациональные числа могут быть множеством точек непрерывности функции (см. функцию "попкорн"), невозможно построить функцию, непрерывную только на рациональных числах. На действительной прямой обратное также верно: для любого Gδ-подмножества действительной прямой существует функция, непрерывная ровно в точках этого подмножества.

Пространство Gδ

Пространство Gδ — это топологическое пространство, в котором каждое замкнутое множество является множеством Gδ. Нормальное пространство, являющееся также пространством Gδ, называется вполне нормальным. Например, каждое метризуемое пространство вполне нормальное.