Введение

Топологическое пространство с плотным счетным подмножеством

В математике топологическое пространство называется сепарабельным, если оно содержит счетное плотное подмножество; то есть существует последовательность элементов пространства, такая что каждое непустое открытое подмножество пространства содержит хотя бы один элемент этой последовательности. Как и другие аксиомы счетности, сепарабельность является "ограничением по размеру", не обязательно в терминах кардинальности (хотя при наличии аксиомы Хаусдорфа это действительно оказывается так; см. ниже), но в более тонком топологическом смысле. В частности, любая непрерывная функция на сепарабельном пространстве, образ которой является подмножеством хаусдорфова пространства, определяется своими значениями на счетном плотном подмножестве. Разделимость следует отличать от связанного понятия второй счетности, которое в общем случае сильнее, но эквивалентно на классе метризуемых пространств.

Первые примеры

Любое топологическое пространство, которое само по себе конечно или счетно бесконечно, является сепарабельным, поскольку всё пространство является счетным плотным подмножеством самого себя. Важным примером неисчислимого сепарабельного пространства является вещественная прямая, в которой рациональные числа образуют счетное плотное подмножество. Аналогично, множество всех векторов длины, состоящих из рациональных чисел, , является счетным плотным подмножеством множества всех векторов длины, состоящих из вещественных чисел, ; таким образом, для каждого , -мерное евклидово пространство сепарабельно. Простым примером пространства, не являющегося сепарабельным, является дискретное пространство неисчислимой кардинальности. Другие примеры приведены ниже.

Кардинальность

Свойство сепарабельности само по себе не накладывает никаких ограничений на кардинальность топологического пространства: любое множество, наделенное тривиальной топологией, является сепарабельным, а также вторично счётно, квазикомпактным и связным. "Проблема" тривиальной топологии заключается в её плохих свойствах разделения: её фактор Колмогорова – одноточечное пространство. Первосчётное, сепарабельное пространство Хаусдорфа (в частности, сепарабельное метрическое пространство) имеет кардинальность не более континуума. В таком пространстве замыкание определяется пределами последовательностей, и любая сходящаяся последовательность имеет не более одного предела, поэтому существует сюръективное отображение из множества сходящихся последовательностей со значениями в счётном плотном подмножестве на точки. Сепарабельное пространство Хаусдорфа имеет кардинальность не более , где – кардинальность континуума. Для этого замыкание характеризуется пределами фильтровых базисов: если и , то если и только если существует фильтровый базис, состоящий из подмножеств , сходящийся к . Кардинальность множества таких фильтровых базисов не более . Кроме того, в пространстве Хаусдорфа для каждого фильтрового базиса существует не более одного предела. Следовательно, существует сюръекция, когда те же аргументы устанавливают более общий результат: предположим, что хаусдорфово топологическое пространство содержит плотное подмножество кардинальности . Тогда оно имеет кардинальность не более и кардинальность не более, если оно первосчётно. Произведение не более чем континуумного числа сепарабельных пространств является сепарабельным пространством. В частности, пространство всех функций от вещественной прямой к самой себе, наделённое топологией произведения, является сепарабельным пространством Хаусдорфа кардинальности . Более общо, если – любой бесконечный кардинал, то произведение не более чем пространств с плотными подмножествами размера не более имеет само плотное подмножество размера не более (теорема Хьюитта — Марчевского — Пондичери).

Конструктивная математика

Отделимость особенно важна в численном анализе и конструктивной математике, поскольку многие теоремы, которые можно доказать для несепарабельных пространств, имеют конструктивные доказательства только для сепарабельных пространств. Эти конструктивные доказательства можно преобразовать в алгоритмы для использования в численном анализе, и они являются единственным типом доказательств, допустимым в конструктивном анализе. Ярким примером такой теоремы является теорема Хана — Банаха.

Отдельные пространства

Каждое компактное метрическое пространство (или метризуемое пространство) является сепарабельным. Любое топологическое пространство, являющееся объединением счётного числа сепарабельных подпространств, является сепарабельным. Вместе эти два первых примера дают другое доказательство того, что n-мерное евклидово пространство является сепарабельным. Пространство всех непрерывных функций от компактного подмножества к вещественной прямой является сепарабельным. Пространства Лебега над измеримым пространством, σ-алгебра которого счётная, а мера σ-конечная, являются сепарабельными для любого p. Пространство непрерывных вещественнозначных функций на единичном интервале с метрикой равномерной сходимости является сепарабельным пространством, поскольку из теоремы Вейерштрасса об аппроксимации следует, что множество многочленов одной переменной с рациональными коэффициентами является счётным плотным подмножеством. Теорема Банаха-Мазура утверждает, что любое сепарабельное банахово пространство изометрически изоморфно замкнутому линейному подпространству l₂. Гильбертово пространство является сепарабельным тогда и только тогда, когда оно имеет счётный ортонормированный базис. Отсюда следует, что любое сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство изометрично пространству суммируемых в квадрате последовательностей. Примером сепарабельного пространства, не являющегося счетно компактным, является линия Соргенфрея – множество действительных чисел, снабжённое топологией нижнего предела. Сепарабельная σ-алгебра – это σ-алгебра, которая является сепарабельным пространством, если рассматривать её как метрическое пространство с метрикой d(x, y) = |x - y| для x, y и заданной конечной мерой μ (и где d обозначает оператор симметрической разности).

Неразделимые пространства

Первый несчётный ординал, снабжённый своей естественной топологией порядка, не является сепарабельным. Пространство Банаха всех ограниченных вещественных последовательностей с супремум-нормой не является сепарабельным. То же самое верно для . Пространство Банаха функций ограниченной вариации не является сепарабельным; однако следует отметить, что это пространство имеет очень важное применение в математике, физике и инженерии.