Введение
Элемент в кольце, некоторая степень которого равна 0, – это тип элемента в кольце.
a type of element in a ring
In mathematics, an element of a ring is called nilpotent if there exists some positive integer , called the index (or sometimes the degree), such that
The term, along with its sister idempotent, was introduced by Benjamin Peirce in the context of his work on the classification of algebras.
В математике элемент кольца называется нильпотентным, если существует некоторое положительное целое число, называемое индексом (или иногда степенью), такое что
a type of element in a ring
In mathematics, an element of a ring is called nilpotent if there exists some positive integer , called the index (or sometimes the degree), such that
The term, along with its sister idempotent, was introduced by Benjamin Peirce in the context of his work on the classification of algebras.
Термин, наряду с родственным ему идемпотентом, был введен Бенджамином Пирсом в контексте его работы по классификации алгебр.
a type of element in a ring
In mathematics, an element of a ring is called nilpotent if there exists some positive integer , called the index (or sometimes the degree), such that
The term, along with its sister idempotent, was introduced by Benjamin Peirce in the context of his work on the classification of algebras.
Примеры
Это определение может быть применено, в частности, к квадратным матрицам. Матрица нильпотентна, потому что (см. Нильпотентная матрица для получения дополнительной информации). В факторкольце класс эквивалентности 3 является нильпотентным, поскольку 3 в квадрате сравнимо с 0 по модулю 9. Предположим, что два элемента *a* и *b* в кольце *R* удовлетворяют условию *ab* = 0. Тогда элемент *a* является нильпотентным, так как *a*<sup>2</sup> = 0. Пример с матрицами (для *a*, *b*): Здесь и . По определению, любой элемент нилсемигруппы является нильпотентным.
is nilpotent because See nilpotent matrix for more. In the factor ring , the equivalence class of 3 is nilpotent because 32 is congruent to 0 modulo 9. Assume that two elements and in a ring satisfy Then the element is nilpotent as An example with matrices (for a, b): Here and
By definition, any element of a nilsemigroup is nilpotent.
Коммутативные кольца
Нилпотентные элементы коммутативного кольца образуют идеал; это следствие биномиальной теоремы. Этот идеал является нилрадикалом кольца. Каждый нилпотентный элемент в коммутативном кольце содержится в каждом простом идеале этого кольца, поскольку он содержится в пересечении всех простых идеалов. Если элемент не нилпотентен, мы можем локализовать кольцо по степеням этого элемента, чтобы получить ненулевое кольцо. Простые идеалы локализованного кольца соответствуют точно простым идеалам исходного кольца, содержащим этот элемент. Поскольку каждое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, каждый не нилпотентный элемент не содержится в некотором простом идеале. Таким образом, нилрадикал является пересечением всех простых идеалов. Для нилрадикала существует характеристика, аналогичная характеристике радикалов Якобсона и аннигилятора простых модулей: нилпотентные элементы кольца – это те и только те элементы, которые аннигилируют все целостные области, содержащиеся в кольце (то есть области вида R/P, где P – простой идеал). Это следует из того факта, что нилрадикал является пересечением всех простых идеалов.
Нилпотентные элементы в алгебре Ли
Пусть $\mathfrak{g}$ — алгебра Ли. Элемент $x \in \mathfrak{g}$ называется нильпотентным, если $ad_x$ — нильпотентное преобразование. См. также: Разложение Жордана в алгебре Ли.
Нилпотенция в физике
Любой оператор лестницы в пространстве конечных измерений является нильпотентным. Они представляют собой операторы рождения и уничтожения, которые осуществляют переход из одного состояния в другое, например, матрицы Паули повышения и понижения. Операнд, удовлетворяющий условию , является нильпотентным. Числа Грассмана, допускающие интегральное представление для фермионных полей, являются нильпотентными, поскольку их квадраты равны нулю. Заряд БРСТ является важным примером в физике. Поскольку линейные операторы образуют ассоциативную алгебру и, следовательно, кольцо, это частный случай исходного определения. В более общем смысле, в свете вышеприведенных определений, оператор является нильпотентным, если существует такое , что (нулевой оператор). Таким образом, линейное отображение является нильпотентным тогда и только тогда, когда в некотором базисе оно представляется нильпотентной матрицей. Другим примером является внешняя производная (также с ). Оба связаны, в том числе через суперсимметрию и теорию Морса, как показал Эдвард Виттен в известной статье. Электромагнитное поле плоской волны без источников является нильпотентным при выражении через алгебру физического пространства. В более общем плане, метод микроаддитивности (который можно использовать для вывода теорем в физике) использует нильпотентные или нильквадратичные бесконечно малые величины и является частью гладкого бесконечно малого анализа.
An operand that satisfies is nilpotent. Grassmann numbers which allow a path integral representation for Fermionic fields are nilpotents since their squares vanish. The BRST charge is an important example in physics. As linear operators form an associative algebra and thus a ring, this is a special case of the initial definition. More generally, in view of the above definitions, an operator is nilpotent if there is such that (the zero function). Thus, a linear map is nilpotent iff it has a nilpotent matrix in some basis. Another example for this is the exterior derivative (again with ). Both are linked, also through supersymmetry and Morse theory, as shown by Edward Witten in a celebrated article. The electromagnetic field of a plane wave without sources is nilpotent when it is expressed in terms of the algebra of physical space. More generally, the technique of microadditivity (which can used to derive theorems in physics) makes use of nilpotent or nilsquare infinitesimals and is part smooth infinitesimal analysis.
Алгебраические нилпотенты
Двумерные двойственные числа содержат нилпотентное пространство. Другие алгебры и числа, содержащие нилпотентные пространства, включают разделенные кватернионы (кокватернионы), разделенные октонионы, бикватернионы и комплексные октонионы. Если нилпотентная бесконечно малая величина – это переменная, стремящаяся к нулю, то можно показать, что любая сумма слагаемых, в которой она фигурирует, является бесконечно малой долей старшего члена.
biquaternions , and complex octonions If a nilpotent infinitesimal is a variable tending to zero, it can be shown that any sum of terms for which it is the subject is an indefinitely small proportion of the first order term.