Кіріспе
Математикада, егер индекс (немесе кейде дәреже) деп аталатын оң бүтін сан болса, сақинадағы элемент нильпотентті деп аталады, яғни оның белгілі бір дәрежесі нөлге тең болады. Бұл термин, идемпотентпен бірге, Бенджамин Пирс алгебраларды жіктеу жұмысы аясында енгізген.
a type of element in a ring
In mathematics, an element of a ring is called nilpotent if there exists some positive integer , called the index (or sometimes the degree), such that
The term, along with its sister idempotent, was introduced by Benjamin Peirce in the context of his work on the classification of algebras.
Мысалдар
Бұл анықтаманы, әсіресе, шаршы матрицаларға қолдануға болады. Матрица нилпотентті, себебі толық ақпарат алу үшін нилпотентті матрица туралы қараңыз. Факторлық сақинада 3 санының эквиваленттік класы нилпотентті, өйткені 3² саны 9 модулі бойынша 0-ге конгруэнтті. Сақинада екі элемент және егер қанағаттандырса, онда элемент нилпотентті болады. Матрицалар бойынша мысал (a, b үшін): Мұнда және .
Қорытындысы бойынша, кез келген нильсемигрупп элементі нилпотентті болады.
is nilpotent because See nilpotent matrix for more. In the factor ring , the equivalence class of 3 is nilpotent because 32 is congruent to 0 modulo 9. Assume that two elements and in a ring satisfy Then the element is nilpotent as An example with matrices (for a, b): Here and
By definition, any element of a nilsemigroup is nilpotent.
Коммутативтік сақиналар
Коммутативті сақинаның нильпотентті элементтері идеал құрайды; бұл биномдық теореманың салдары. Бұл идеал – сақинаның нильрадикалы. Коммутативті сақинадағы әрбір нильпотентті элемент сол сақинаның барлық жай идеалдарында болады, себебі ол барлық жай идеалдардың қиылысында жатыр. Егер нильпотентті болмаса, оның қуаттарына қатысты локализация жасай аламыз: нөлдік емес сақина алу үшін. Локализацияланған сақинаның жай идеалдары, сақинаның жай идеалдарымен дәл сәйкес келеді, мұнда . Кез келген нөлдік емес коммутативті сақинада максималды идеал болады, ол жай, сондықтан кез келген нильпотентті емес элемент кейбір жай идеалда қамтылмайды. Осылайша, нильрадикал – барлық жай идеалдардың қиылысы. Якобсон радикалдарына және жай модульдердің жойылғандарына ұқсас сипаттама нильрадикал үшін де қолданылады: сақинаның нильпотентті элементтері – сақинаның ішіндегі барлық интегралды домендерді (яғни, жай идеалдар үшін түріндегілерді) жоятын элементтер. Бұл нильрадикалдың барлық жай идеалдардың қиылысы екендігінен туындайды.
Ли алгебрасындағы нилпотентті элементтер
Келіңіздер, Lie алгебрасы болсын. Элемент егер -ге жатса және нөлдік трансформация болса, нөлдік деп аталады. Сондай-ақ қараңыз: Lie алгебрасындағы Жорданның ыдырауы.
Физикадағы нилпотенция
Шекті өлшемді кеңістіктегі кез келген баспалдақ операторы нөлдік болады. Олар бір күйден екінші күйге өтуді қамтамасыз ететін жарату және жою операторларын көрсетеді, мысалы, Паули матрицаларын көтеру және төмендету. Фермиондық өрістер үшін жол интегралын ұсынуға мүмкіндік беретін Грассман сандары, олардың квадраты жойылғандықтан, нөлдік болып табылады. BRST заряды физикадағы маңызды мысал. Сызықтық операторлар ассоциативтік алгебраны, демек сақинаны құрайтындықтан, бұл бастапқы анықтаманың ерекше жағдайы. Көбірек айтқанда, жоғарыдағы анықтамаларға сәйкес, егер мұндай оператор болса, онда ол нөлдік оператор (нөлдік функция) болады. Демек, сызықтық түрлендіру нөлдік матрицаға ие болса, ол нөлдік потенциялы болады. Сыртқы туынды да осыған мысал бола алады. Екеуі де суперсимметрия және Морзе теориясы арқылы байланысты, бұл Эдвард Виттеннің танымал мақаласында көрсетілген. Көздері жоқ жазық толқынның электромагниттік өрісі, физикалық кеңістіктің алгебрасы тұрғысынан қарастырылғанда, нөлдік болады. Әрі, микроадитивтілік әдісі (физикада теоремаларды шығару үшін қолданылатын) нөлдік немесе нилквадратты инфинитезимальдарды пайдаланады және тегіс инфинитезимальді талдаудың бір бөлігі болып табылады.
An operand that satisfies is nilpotent. Grassmann numbers which allow a path integral representation for Fermionic fields are nilpotents since their squares vanish. The BRST charge is an important example in physics. As linear operators form an associative algebra and thus a ring, this is a special case of the initial definition. More generally, in view of the above definitions, an operator is nilpotent if there is such that (the zero function). Thus, a linear map is nilpotent iff it has a nilpotent matrix in some basis. Another example for this is the exterior derivative (again with ). Both are linked, also through supersymmetry and Morse theory, as shown by Edward Witten in a celebrated article. The electromagnetic field of a plane wave without sources is nilpotent when it is expressed in terms of the algebra of physical space. More generally, the technique of microadditivity (which can used to derive theorems in physics) makes use of nilpotent or nilsquare infinitesimals and is part smooth infinitesimal analysis.
Алгебралық нилпотенттер
Екі өлшемді қос сандар нөлдік кеңістікті қамтиды. Нилпотентті кеңістікке ие басқа алгебралар мен сандарға бөлінген кватерниондар (кокватерниондар), бөлінген октониондар, бикватерниондар және күрделі октониондар жатады. Егер нилпотентті инфинитезималь нөлге ұмтылатын айнымалы болса, онда ол қатысты болатын кез келген мүшелердің қосындысы бірінші реттік мүшенің шексіз кішкентай бөлігі екенін көрсетуге болады.
biquaternions , and complex octonions If a nilpotent infinitesimal is a variable tending to zero, it can be shown that any sum of terms for which it is the subject is an indefinitely small proportion of the first order term.