Введение

Представление матрицы в виде произведения. В математической дисциплине линейной алгебры, разложение матрицы или матричная факторизация представляет собой представление матрицы в виде произведения матриц. Существует множество различных разложений матриц, и каждое из них находит применение в определенном классе задач.

Пример

В численном анализе для реализации эффективных матричных алгоритмов используются различные разложения. Например, при решении системы линейных уравнений матрица A может быть разложена с помощью LU-разложения. LU-разложение раскладывает матрицу на нижнетреугольную матрицу L и верхнетреугольную матрицу U. Системы и требуют меньше сложений и умножений для решения по сравнению с исходной системой , хотя в неточной арифметике, такой как вычисления с плавающей точкой, может потребоваться значительно больше знаков. Аналогично, QR-разложение представляет A в виде QR, где Q – ортогональная матрица, а R – верхнетреугольная матрица. Система Q(Rx) = b решается путем решения системы Rx = QTb = c, а система Rx = c решается методом "обратной подстановки". Количество необходимых сложений и умножений примерно в два раза больше, чем при использовании LU-решателя, но в неточной арифметике не требуется больше знаков, поскольку QR-разложение численно устойчиво.

Разложение ЛУ

Традиционно применяется к: квадратной матрице А, хотя применимы и прямоугольные матрицы. Разложение: , где L – нижнетреугольная матрица, а U – верхнетреугольная матрица. Связанные: разложение LDU равно , где L – нижнетреугольная матрица с единицами на диагонали, U – верхнетреугольная матрица с единицами на диагонали, а D – диагональная матрица. Связанные: разложение LUP равно , где L – нижнетреугольная матрица, U – верхнетреугольная матрица, а P – матрица перестановок. Существование: Разложение LUP существует для любой квадратной матрицы A. Если P – единичная матрица, то разложение LUP сводится к разложению LU. Комментарии: Разложения LUP и LU полезны для решения системы из n линейных уравнений. Эти разложения обобщают процесс исключения Гаусса в матричной форме. Матрица P представляет любые перестановки строк, выполненные в процессе исключения Гаусса. Если исключение Гаусса приводит к ступенчатой форме без необходимости перестановок строк, то P = I, и, следовательно, существует разложение LU.

Факторизация Такаги

Применимо к: квадратной, комплексной, симметричной матрице A.
Разложение: , где D — вещественная неотрицательная диагональная матрица, а V — унитарная. Обозначает транспонированную матрицу V.
Примечание: Диагональные элементы D являются неотрицательными квадратными корнями собственных значений .
Примечание: V может быть комплексной даже в том случае, если A является вещественной.
Примечание: Это не частный случай спектрального разложения (см. выше), которое использует вместо . Кроме того, если A не является вещественной, она не является эрмитовой, и форма, использующая , также неприменима.

Разложение на однозначные значения

Применимо к: m на n матрице A.
Разложение: , где D – неотрицательная диагональная матрица, а U и V удовлетворяют условию Здесь – сопряжённая транспонированная матрица V (или просто транспонированная, если V содержит только действительные числа), а I обозначает единичную матрицу (некоторого порядка). Комментарий: Диагональные элементы D называются сингулярными значениями A. Комментарий: Как и разложение на собственные значения, рассмотренное выше, сингулярное разложение включает в себя поиск базисных направлений, вдоль которых умножение матриц эквивалентно скалярному умножению, но оно обладает большей общностью, поскольку рассматриваемая матрица не обязана быть квадратной. Уникальность: сингулярные значения всегда определяются однозначно. и не обязаны быть уникальными в общем случае.

Разложения с неизменным масштабом

Относится к вариантам существующих матричных разложений, таких как SVD, которые инвариантны относительно диагонального масштабирования. Применимо к матрице A размером m на n. Разложение с инвариантными к масштабу сингулярными значениями: , где S – уникальная неотрицательная диагональная матрица инвариантных к масштабу сингулярных значений, U и V – унитарные матрицы, – сопряжённо транспонированная матрица V, и D и E – положительные диагональные матрицы. Комментарий: аналогично SVD, за исключением того, что диагональные элементы S инвариантны относительно левого и/или правого умножения A произвольными невырожденными диагональными матрицами, в отличие от стандартного SVD, для которого сингулярные значения инвариантны относительно левого и/или правого умножения A произвольными унитарными матрицами. Комментарий: является альтернативой стандартному SVD, когда требуется инвариантность относительно диагональных, а не унитарных преобразований A. Уникальность: инвариантные к масштабу сингулярные значения (задаваемые диагональными элементами S) всегда определяются однозначно. Диагональные матрицы D и E, а также унитарные матрицы U и V, не обязательно являются уникальными в общем случае. Комментарий: матрицы U и V не совпадают с матрицами из SVD. Аналогичные разложения, инвариантные к масштабу, могут быть получены из других матричных разложений; например, для получения инвариантных к масштабу собственных значений.

Разложение Гессенберга

Применимо к: квадратной матрице A.
Разложение: где H – матрица Гессенберга, а Q – унитарная матрица.
Комментарий: часто является первым шагом в разложении Шура.

Полный ортогональный разложение

Также известный как: UTV-разложение, ULV-разложение, URV-разложение. Применимо к: матрице A размером m на n. Разложение: , где T — треугольная матрица, а U и V — унитарные матрицы. Комментарий: Аналогично сингулярному разложению и разложению Шура.