Введение
Преобразование, сохраняющее расстояние
В математике изометрия (или конгруэнтность, или конгруэнтное преобразование) — это преобразование, сохраняющее расстояния между метрическими пространствами, как правило, предполагается, что оно является биективным. Слово «изометрия» происходит от древнегреческих слов: ἴσος (isos), означающего «равный», и μέτρον (metron), означающего «мера». Если преобразование отображает метрическое пространство в себя, оно представляет собой вид геометрического преобразования, известного как движение.
Введение
При заданном метрическом пространстве (в широком смысле, множестве и способе определения расстояний между элементами множества) изометрия — это преобразование, которое отображает элементы в то же или другое метрическое пространство таким образом, что расстояние между образами элементов в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами в исходном метрическом пространстве. В двумерном или трехмерном евклидовом пространстве две геометрические фигуры считаются конгруэнтными, если они связаны изометрией; изометрия, связывающая их, является либо жестким движением (трансляцией или вращением), либо композицией жесткого движения и отражения. Изометрии часто используются в построениях, где одно пространство вкладывается в другое. Например, завершение метрического пространства включает изометрию из исходного пространства в фактор-множество пространства последовательностей Коши на этом пространстве. Исходное пространство таким образом изометрически изоморфно подпространству полного метрического пространства и обычно отождествляется с этим подпространством. Другие построения вложения показывают, что каждое метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого нормированного векторного пространства, а каждое полное метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого пространства Банаха. Изометрический сюръективный линейный оператор на гильбертовом пространстве называется унитарным оператором.
the isometry that relates them is either a rigid motion (translation or rotation), or a composition of a rigid motion and a reflection. Isometries are often used in constructions where one space is embedded in another space. For instance, the completion of a metric space involves an isometry from into a quotient set of the space of Cauchy sequences on
The original space is thus isometrically isomorphic to a subspace of a complete metric space, and it is usually identified with this subspace. Other embedding constructions show that every metric space is isometrically isomorphic to a closed subset of some normed vector space and that every complete metric space is isometrically isomorphic to a closed subset of some Banach space. An isometric surjective linear operator on a Hilbert space is called a unitary operator.
Определение
Пусть и будут метрическими пространствами с метриками (например, расстояниями) и . Отображение называется изометрией или расстояния-сохраняющим отображением, если для любых точек из них выполняется равенство .