Введение

Проблема, которую можно решить с помощью математики. Математическая проблема – это проблема, которую можно представить, проанализировать и, возможно, решить методами математики. Это может быть проблема из реального мира, такая как вычисление орбит планет в солнечной системе, или проблема более абстрактного характера, например, проблемы Гильберта. Это также может быть проблема, касающаяся самой природы математики, например, парадокс Рассела.

Реальные проблемы

Неформальные математические задачи, основанные на реальных ситуациях, – это вопросы, связанные с конкретным контекстом, например: "У Адама пять яблок, и он отдает три Джону. Сколько яблок у него осталось?". Такие вопросы обычно сложнее решить, чем стандартные математические упражнения, такие как "5 − 3", даже если человек владеет необходимыми математическими знаниями. Эти задачи, известные как текстовые задачи, используются в математическом образовании для обучения учащихся установлению связи между реальными ситуациями и абстрактным языком математики. Как правило, для решения реальной задачи с помощью математики, первым шагом является построение математической модели этой задачи. Это подразумевает выделение существенного и отбрасывание несущественных деталей, и важно, чтобы при переводе исходной задачи в математическую форму не были упущены ключевые аспекты. После решения задачи в математической форме, полученное решение необходимо интерпретировать и применить к исходному контексту.

Абстрактные задачи

Абстрактные математические задачи возникают во всех областях математики. Хотя математики обычно изучают их сами по себе, в процессе этого могут быть получены результаты, находящие применение за пределами математики. Теоретическая физика исторически служила богатым источником вдохновения. Некоторые абстрактные задачи были строго доказаны как неразрешимые, такие как квадратура круга и трисекция угла с использованием только циркуля и линейки в классической геометрии, а также алгебраическое решение общего уравнения пятой степени. Также доказано, что неразрешимы так называемые неразрешимые проблемы, например, проблема останова для машин Тьюринга. Некоторые известные сложные абстрактные задачи, которые были решены относительно недавно, включают теорему о четырёх красках, последнюю теорему Ферма и гипотезу Пуанкаре. Компьютерам не требуется понимание мотивации математиков для выполнения их задач. Формальные определения и выводы, проверяемые компьютером, имеют основополагающее значение для математической науки.