Введение

Тип классификации в алгебре
В абстрактной алгебре, ветви математики, архимедова группа — это линейно упорядоченная группа, для которой выполняется свойство Архимеда: любые два положительных элемента группы ограничены целыми кратными друг другу. Множество R действительных чисел вместе с операцией сложения и обычным отношением порядка между числами является архимедовой группой. По результату Отто Хёльдера, каждая архимедова группа изоморфна подгруппе этой группы. Название "архимедова" происходит от Отто Стольца, который назвал свойство Архимеда в честь его появления в трудах Архимеда.

Примеры групп Архимеда

Набор целых чисел, рациональных чисел и действительных чисел, вместе с операцией сложения и обычным упорядочением (≤), являются архимедовыми группами. Каждая подгруппа архимедовой группы сама является архимедовой, поэтому следует, что каждая подгруппа этих групп, такая как аддитивная группа четных чисел или диaдических рациональных чисел, также образует архимедову группу. Обратно, как показал Отто Хёльдер, каждая архимедова группа изоморфна (как упорядоченная группа) к подгруппе действительных чисел. Из этого следует, что каждая архимедова группа обязательно является абелевой группой: ее операция сложения должна быть коммутативной. Эту группу можно рассматривать как аддитивную группу пар, состоящих из действительного числа и бесконечно малого числа, где единица бесконечно малого числа: но для любого положительного действительного числа. Неархимедовы упорядоченные поля могут быть определены аналогичным образом, и их аддитивные группы являются неархимедовыми упорядоченными группами. Они используются в нестандартном анализе и включают гиперреальные и сюрреальные числа. В то время как неархимедовы упорядоченные группы не могут быть вложены в действительные числа, они могут быть вложены в степень действительных чисел с лексикографическим порядком, согласно теореме о вложении Гана; приведенный выше пример является двухмерным случаем.

Дополнительные свойства

Каждая архимедова группа обладает свойством, что для каждого дедекиндова разреза группы и каждого элемента группы ε > 0 существует другой элемент группы x, лежащий в нижней части разреза, и x + ε – в верхней части разреза. Однако существуют неархимедовы упорядоченные группы, обладающие тем же свойством. Тот факт, что архимедовы группы являются абелевыми, можно обобщить: любая упорядоченная группа, обладающая этим свойством, является абелевой.

Обобщения

Архимедовы группы можно обобщить до архимедовых моноидов — линейно упорядоченных моноидов, удовлетворяющих свойству Архимеда. Примеры включают натуральные числа, неотрицательные рациональные числа и неотрицательные действительные числа с обычной бинарной операцией и отношением порядка. Аналогичным доказательством, как и для архимедовых групп, можно показать, что архимедовы моноиды коммутативны.