Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Решение уравнений поля Эйнштейна
Solution to the Einstein field equations
В теории общей относительности Эйнштейна метрика Шварцшильда (также известная как решение Шварцшильда) является точным решением уравнений поля Эйнштейна, описывающим гравитационное поле вне сферической массы при условии, что электрический заряд массы, угловой момент массы и универсальная космологическая постоянная равны нулю. Это решение является полезным приближением для описания медленно вращающихся астрономических объектов, таких как многие звезды и планеты, включая Землю и Солнце. Оно было найдено Карлом Шварцшильдом в 1916 году. Согласно теореме Бирхоффа, метрика Шварцшильда является наиболее общим сферически симметричным вакуумным решением уравнений поля Эйнштейна. Черная дыра Шварцшильда, или статическая черная дыра, – это черная дыра, не имеющая ни электрического заряда, ни углового момента (не вращающаяся). Черная дыра Шварцшильда описывается метрикой Шварцшильда и не может быть различима от любой другой черной дыры Шварцшильда, кроме как по массе. Черную дыру Шварцшильда характеризует окружающая её сферическая граница, называемая горизонтом событий, расположенная на радиусе Шварцшильда, который часто называют радиусом черной дыры. Эта граница не является физической поверхностью, и человек, упавший сквозь горизонт событий (до того, как его разорвут приливные силы), не заметил бы какой-либо физической поверхности в этой точке; это математическая поверхность, имеющая важное значение для определения свойств черной дыры. Любая не вращающаяся и не заряженная масса, меньшая своего радиуса Шварцшильда, образует черную дыру. Решение уравнений поля Эйнштейна справедливо для любой массы M, поэтому, в принципе (в рамках общей теории относительности), может существовать черная дыра Шварцшильда любой массы, если условия станут достаточно благоприятными для её формирования. Вблизи черной дыры Шварцшильда пространство искривляется настолько сильно, что даже лучи света отклоняются, а свет, находящийся очень близко, может отклоняться настолько, что совершает несколько оборотов вокруг черной дыры.
In Einstein's theory of general relativity, the Schwarzschild metric (also known as the Schwarzschild solution) is an exact solution to the Einstein field equations that describes the gravitational field outside a spherical mass, on the assumption that the electric charge of the mass, angular momentum of the mass, and universal cosmological constant are all zero. The solution is a useful approximation for describing slowly rotating astronomical objects such as many stars and planets, including Earth and the Sun. It was found by Karl Schwarzschild in 1916. According to Birkhoff's theorem, the Schwarzschild metric is the most general spherically symmetric vacuum solution of the Einstein field equations. A Schwarzschild black hole or static black hole is a black hole that has neither electric charge nor angular momentum (non rotating). A Schwarzschild black hole is described by the Schwarzschild metric, and cannot be distinguished from any other Schwarzschild black hole except by its mass. The Schwarzschild black hole is characterized by a surrounding spherical boundary, called the event horizon, which is situated at the Schwarzschild radius , often called the radius of a black hole. The boundary is not a physical surface, and a person who fell through the event horizon (before being torn apart by tidal forces) would not notice any physical surface at that position; it is a mathematical surface which is significant in determining the black hole's properties. Any non rotating and non charged mass that is smaller than its Schwarzschild radius forms a black hole. The solution of the Einstein field equations is valid for any mass M, so in principle (within the theory of general relativity) a Schwarzschild black hole of any mass could exist if conditions became sufficiently favorable to allow for its formation. In the vicinity of a Schwarzschild black hole, space curves so much that even light rays are deflected, and very nearby light can be deflected so much that it travels several times around the black hole.
Орбитальное движение
Частица, вращающаяся в метрике Шварцшильда, может иметь стабильную круговую орбиту при r > 3rs. Круговые орбиты с r между 1,5rs и 3rs являются нестабильными, и круговых орбит при r < 1,5rs не существует. Круговая орбита минимального радиуса 1,5rs соответствует орбитальной скорости, стремящейся к скорости света. Частица может иметь постоянное значение r между rs и 1,5rs, но только если на неё действует какая-либо сила, удерживающая её на этом расстоянии. Некруговые орбиты, такие как орбита Меркурия, проводят больше времени на малых радиусах, чем можно было бы ожидать в ньютоновской гравитации. Это можно рассматривать как менее выраженную версию более драматичного случая, когда частица пересекает горизонт событий и навсегда остаётся внутри него. Между случаем Меркурия и случаем объекта, падающего за горизонт событий, существуют экзотические возможности, такие как орбиты типа "лезвие ножа", при которых спутник может совершать произвольно большое количество почти круговых орбит, после чего он вылетает обратно наружу.
A particle orbiting in the Schwarzschild metric can have a stable circular orbit with r > 3rs. Circular orbits with r between 1.5rs and 3rs are unstable, and no circular orbits exist for r < 1.5rs. The circular orbit of minimum radius 1.5rs corresponds to an orbital velocity approaching the speed of light. It is possible for a particle to have a constant value of r between rs and 1.5rs, but only if some force acts to keep it there. Noncircular orbits, such as Mercury's, dwell longer at small radii than would be expected in Newtonian gravity. This can be seen as a less extreme version of the more dramatic case in which a particle passes through the event horizon and dwells inside it forever. Intermediate between the case of Mercury and the case of an object falling past the event horizon, there are exotic possibilities such as knife edge orbits, in which the satellite can be made to execute an arbitrarily large number of nearly circular orbits, after which it flies back outward.
Симметрии
Изометрическая группа метрики Шварцшильда равна \mathbb R\times \mathrm{O}(3) \times \{\pm 1\} , где \mathrm{O}(3) – ортогональная группа вращений и отражений в трех измерениях, включающая в себя сдвиги по времени, а \{\pm 1\} – группа, порожденная обращением времени. Таким образом, это подгруппа десятимерной группы Пуанкаре, которая отображает ось времени (траекторию звезды) на себя. Она не включает сдвиги в пространстве (три измерения) и преобразования Лоренца (три измерения). Она сохраняет сдвиги по времени (одно измерение) и вращения (три измерения). Следовательно, она имеет четыре измерения. Как и группа Пуанкаре, она имеет четыре связных компоненты: компонента единицы; компонента, обращенная по времени; компонента пространственной инверсии; и компонента, которая одновременно обращена по времени и пространственно инвертирована.
The isometry group of the Schwarzchild metric is 1= \mathbb R\times \mathrm{O}(3)\times \{\pm 1\} , where is the orthogonal group of rotations and reflections in three dimensions, comprises the time translations, and is the group generated by time reversal. This is thus the subgroup of the ten dimensional Poincaré group which takes the time axis (trajectory of the star) to itself. It omits the spatial translations (three dimensions) and boosts (three dimensions). It retains the time translations (one dimension) and rotations (three dimensions). Thus it has four dimensions. Like the Poincaré group, it has four connected components: the component of the identity; the time reversed component; the spatial inversion component; and the component which is both time reversed and spatially inverted.
The Ricci curvature scalar and the Ricci curvature tensor are both zero. Non zero components of the Riemann curvature tensor are
Компоненты, которые могут быть получены из симметрий тензора Римана, не показаны. Для понимания физического смысла этих величин полезно выразить тензор кривизны в ортонормальном базисе. В ортонормальном базисе наблюдателя ненулевые компоненты в геометрических единицах таковы:
Components which are obtainable by the symmetries of the Riemann tensor are not displayed. To understand the physical meaning of these quantities, it is useful to express the curvature tensor in an orthonormal basis. In an orthonormal basis of an observer the non zero components in geometric units are
Снова, компоненты, которые могут быть получены из симметрий тензора Римана, не показаны. Эти результаты инвариантны относительно любого преобразования Лоренца, следовательно, компоненты не изменяются для нестатических наблюдателей. Уравнение геодезического отклонения показывает, что приливное ускорение между двумя наблюдателями, разделенными расстоянием , равно , таким образом, тело длиной растягивается в радиальном направлении с кажущимся ускорением и сжимается в перпендикулярных направлениях с ускорением .
Again, components which are obtainable by the symmetries of the Riemann tensor are not displayed. These results are invariant to any Lorentz boost, thus the components do not change for non static observers. The geodesic deviation equation shows that the tidal acceleration between two observers separated by is , so a body of length is stretched in the radial direction by an apparent acceleration and squeezed in the perpendicular directions by .