Введение

Закрытая кривая делит плоскость на две области. В топологии теорема Жордана утверждает, что любая кривая Жордана (плоская простая замкнутая кривая) делит плоскость на "внутреннюю" область, ограниченную кривой, и "внешнюю" область, содержащую все близкие и далекие внешние точки. Любой непрерывный путь, соединяющий точку одной области с точкой другой, где-то пересекает кривую. Хотя теорема кажется интуитивно очевидной, для её доказательства элементарными средствами требуется определённая изобретательность. "Несмотря на то, что теорема Жордана является одной из наиболее известных топологических теорем, многие, даже среди профессиональных математиков, никогда не читали её доказательства". Более наглядные доказательства опираются на математический аппарат алгебраической топологии, что приводит к обобщениям на пространства более высокой размерности. Теорема Жордана названа в честь математика Камиля Жордана (1838–1922), который опубликовал первое заявленное доказательство в 1887 году. На протяжении десятилетий математики в целом полагали, что это доказательство было ошибочным и что первое строгое доказательство было получено Освальдом Вебленом. Однако это представление было опровергнуто Томасом С. Хейлсом и другими исследователями.

Доказательство и обобщения

Теорема кривой Джордана была независимо обобщена в более высоких измерениях Х. Лебегом и Л. Е. Брауэром в 1911 году, что привело к теореме о разделении Джордана — Брауэра. Доказательство использует теорию гомологии. Сначала устанавливается, что в более общем случае, если X гомеоморфно k-сфере, то редуцированные интегральные группы гомологий Y = Rn+1 \ X имеют следующий вид:

Это доказывается индукцией по k с использованием последовательности Майера — Виториса. Когда n = k, нулевая редуцированная группа гомологий Y имеет ранг 1, что означает, что Y имеет 2 связных компоненты (которые, более того, путь-связны), и, с небольшими дополнительными усилиями, можно показать, что их общей границей является X. Дальнейшее обобщение было найдено Дж. В. Александром, который установил двойственность Александра между редуцированной гомологией компактного подмножества X в Rn+1 и редуцированной когомологией его дополнения. Если X является n-мерным компактным связным подмногообразием Rn+1 (или Sn+1) без границы, его дополнение имеет 2 связных компоненты. Существует усиление теоремы кривой Джордана, называемое теоремой Джордана — Шёнфлиса, которое утверждает, что внутренние и внешние плоские области, определяемые кривой Джордана в R2, гомеоморфны внутренней и внешней областям единичного диска. В частности, для любой точки P во внутренней области и точки A на кривой Джордана существует дуга Джордана, соединяющая P с A и, за исключением конечной точки A, полностью лежащая во внутренней области. Альтернативная и эквивалентная формулировка теоремы Джордана — Шёнфлиса утверждает, что любая кривая Джордана φ: S1 → R2, где S1 рассматривается как единичная окружность в плоскости, может быть расширена до гомеоморфизма ψ: R2 → R2 плоскости. В отличие от обобщения теоремы кривой Джордана, выполненного Лебегом и Брауэром, это утверждение становится ложным в более высоких измерениях: в то время как внешняя часть единичного шара в R3 просто связна, поскольку она сжимается на единичную сферу, сфера с рогами Александра является подмножеством R3, гомеоморфным сфере, но настолько скрученным в пространстве, что неограниченная компонента его дополнения в R3 не является просто связной и, следовательно, не гомеоморфна внешней части единичного шара.

Дискретная версия

Теорема Жордана о кривой может быть доказана из теоремы о неподвижной точке Брауэра (в 2 измерениях), а теорема о неподвижной точке Брауэра может быть доказана из теоремы о гексе: "каждая игра в гекс имеет хотя бы одного победителя", из которой следует логическое следование: теорема о гексе влечет теорему о неподвижной точке Брауэра, которая влечет теорему Жордана о кривой. Очевидно, что теорема Жордана о кривой влечет "сильную теорему о гексе": "каждая игра в гекс заканчивается ровно одним победителем, без возможности проигрыша обеих сторон или выигрыша обеих сторон", таким образом, теорема Жордана о кривой эквивалентна сильной теореме о гексе, которая является чисто дискретной теоремой. Теорема о неподвижной точке Брауэра, будучи заключенной между двумя эквивалентными теоремами, также эквивалентна обеим. В обратной математике и формализованной компьютерной математике теорема Жордана о кривой обычно доказывается путем её предварительного преобразования в эквивалентную дискретную версию, аналогичную сильной теореме о гексе, а затем доказательства дискретной версии.

Теорема шахматной доски Штейнхауза

Теорема шахматной доски Штейнхауза в некотором смысле показывает, что 4-соседняя и 8-соседняя сетки "вместе" имплицируют теорему Жордана о кривой, а 6-соседняя сетка является точной интерполяцией между ними. Теорема утверждает следующее: предположим, вы расставили бомбы на некоторых клетках шахматной доски таким образом, что король не может переместиться с нижнего края на верхний, не попав на бомбу; тогда ладья может переместиться с левого края на правый, наступая только на бомбы.

Применение

В вычислительной геометрии теорема Жордана о кривой может быть использована для определения, находится ли точка внутри или снаружи простого многоугольника. Из заданной точки проведите луч, не проходящий через никакую вершину многоугольника (подходит большинство лучей, за исключением конечного числа). Затем вычислите количество n пересечений луча со стороной многоугольника. Из доказательства теоремы Жордана о кривой следует, что точка находится внутри многоугольника тогда и только тогда, когда n — нечетное число.

Вычислительные аспекты

Адлер, Даскалакис и Демайн доказывают, что вычислительная версия теоремы Жордана является PPAD-полной. Как следствие, они показывают, что теорема Жордана влечет теорему Брауэра о неподвижной точке. Это дополняет более ранний результат Маэхары о том, что теорема Брауэра о неподвижной точке влечет теорему Жордана.