Введение
В математике, исчисление на масштабах времени — это объединение теории дифференциальных уравнений с теорией разностных уравнений, унифицирующее интегральное и дифференциальное исчисление с исчислением конечных разностей и предлагающее формализм для изучения гибридных систем. Оно находит применение в любой области, требующей одновременного моделирования дискретных и непрерывных данных. Оно предоставляет новое определение производной, которое совпадает со стандартным дифференцированием для функций, определенных на действительных числах, и эквивалентно оператору прямого дифференцирования для функций, определенных на целых числах.
История
Расчет по временной шкале был введен в 1988 году немецким математиком Стефаном Хильгером. Однако схожие идеи применялись и ранее, и их истоки можно проследить как минимум до введения интеграла Римана — Стильтьеса, который объединяет суммирование и интегрирование.
Динамические уравнения
Многие результаты, касающиеся дифференциальных уравнений, довольно легко переносятся на соответствующие результаты для разностных уравнений, в то время как другие результаты кажутся полностью отличными от их непрерывных аналогов. Изучение динамических уравнений на временных масштабах выявляет такие расхождения и позволяет избежать повторного доказательства результатов – один раз для дифференциальных уравнений и еще раз для разностных уравнений. Общая идея заключается в доказательстве результата для динамического уравнения, область определения неизвестной функции которого является так называемым временным масштабом (также известным как временное множество), который может быть произвольным замкнутым подмножеством действительных чисел. Таким образом, результаты применимы не только к множеству действительных чисел или множеству целых чисел, но и к более общим временным масштабам, таким как множество Кантора. Три наиболее популярных примера исчисления на временных масштабах – это дифференциальное исчисление, разностное исчисление и квантовое исчисление. Динамические уравнения на временных масштабах имеют потенциал для применения, например, в динамике популяций. Например, они могут моделировать популяции насекомых, которые непрерывно развиваются в течение сезона, вымирают зимой во время инкубации или покоя яиц, а затем вылупляются в новом сезоне, формируя неперекрывающиеся популяции.
Непрерывность
Непрерывность временного масштаба переопределяется как эквивалент плотности. Временной масштаб называется правонепрерывным в точке, если он правоплотен в этой точке. Аналогично, временной масштаб называется левонепрерывным в точке, если он левоплотен в этой точке.
Интеграция
Дельта-интеграл определяется как первообразная относительно дельта-производной. Если функция f имеет непрерывную производную, то полагают
Трансформация Лапласа и z-трансформация
Трансформация Лапласа может быть определена для функций на временных шкалах, используя одну и ту же таблицу преобразований для любого произвольного временного масштаба. Это преобразование может быть использовано для решения динамических уравнений на временных шкалах. Если временной масштаб состоит из неотрицательных целых чисел, то преобразование равно…
Многократная интеграция
Многократное интегрирование на временных масштабах рассматривается в Bohner (2005).
Стохастические динамические уравнения на временных масштабах
Стохастические дифференциальные уравнения и стохастические разностные уравнения могут быть обобщены до стохастических динамических уравнений на масштабах времени.
Интегральные уравнения на временных масштабах
Интегральные и суммирующие уравнения объединяются в интегральные уравнения на временных шкалах.
Размерный анализ по временным шкалам
Фракционное исчисление на временных масштабах рассматривается в работах Бастоса, Мозырской и Торреса.