Введение

Непрерывное сюръективное отображение, удовлетворяющее условию локальной тривиальности.

В математике, и особенно в топологии, волокнистый пучок (англ. fiber bundle) — это пространство, которое локально является произведением, но глобально может иметь иную топологическую структуру. В частности, сходство между пространством и пространством произведения определяется с помощью непрерывного сюръективного отображения, которое в малых областях ведет себя как проекция из соответствующих областей на. Это отображение, называемое проекцией или погружением пучка, рассматривается как часть структуры пучка. Пространство называется полным пространством волокнистого пучка, пространство — базовым пространством, а — волокном. В тривиальном случае, является просто, а отображение — просто проекцией из пространства произведения на первый фактор. Это называется тривиальным пучком. Примеры нетривиальных волокнистых пучков включают ленту Мёбиуса и бутылку Кляйна, а также нетривиальные накрывающие пространства. Волокнистые пучки, такие как тангенциальный пучок многообразия и другие более общие векторные пучки, играют важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии, как и главные пучки. Отображения между полными пространствами волокнистых пучков, которые "согласованы" с проекционными отображениями, называются отображениями пучков, а класс волокнистых пучков образует категорию относительно таких отображений. Отображение пучка из самого базового пространства (с тождественным отображением в качестве проекции) называется сечением. Волокнистые пучки могут быть специализированы различными способами, наиболее распространенным из которых является требование, чтобы переходные отображения между локальными тривиальными областями лежали в определенной топологической группе, известной как группа структуры, действующей на волокно.

История

В топологии термины волокно (нем. Faser) и волокнистое пространство (нем. gefaserter Raum) впервые появились в статье Герберта Зайферта в 1933 году, но его определения ограничены очень специальным случаем. Главное отличие от современной концепции волокнистого пространства заключалось в том, что для Зайферта то, что сейчас называется базовым пространством (топологическим пространством) волокнистого (топологического) пространства E, не являлось частью структуры, а выводилось из него как фактор-пространство E. Первое определение волокнистого пространства было дано Хасслером Уитни в 1935 году под названием сферическое пространство, но в 1940 году Уитни изменил название на сферический расслоение. Теория волокнистых пространств, к которой относятся векторные расслоения, главные расслоения, топологические фибрации и волокнистые многообразия как частный случай, приписывается Зайферту, Хайнцу Хопфу, Жаку Фельдбау, Уитни, Норману Стенроду, Чарльзу Эресманну, Жану Пьеру Серру и другим. Волокнистые расслоения стали самостоятельным объектом изучения в период 1935–1940 годов. Первое общее определение появилось в работах Уитни. Уитни пришел к общему определению волокнистого расслоения, изучая более частный случай сферического расслоения, то есть волокнистого расслоения, волокно которого является сферой произвольной размерности.

Тривиальная пачка

Пусть и пусть $\pi$ будет проекцией на первый фактор. Тогда $E$ является расслоением (над ) над $X$. Здесь $E$ является не просто локально произведением, а глобальным произведением. Любое такое расслоение называется тривиальным расслоением. Любое расслоение над стягиваемым CW-комплексом является тривиальным.

Полоска Мёбиуса

Возможно, самым простым примером нетривиального расслоения является полоса Мёбиуса. Она имеет окружность, проходящую вдоль центра полосы, в качестве основания и отрезок прямой в качестве волокна, поэтому полоса Мёбиуса является расслоением отрезка прямой над окружностью. Окрестность (где ) – это дуга; на рисунке это длина одного из квадратов. Прообраз в рисунке представляет собой (несколько скрученный) срез полосы шириной в четыре квадрата и длиной в один квадрат (то есть все точки, которые проецируются в ). Существует гомеоморфизм (в ) , который отображает прообраз (тривиализирующую окрестность) на срез цилиндра: изогнутый, но не скрученный. Эта пара локально тривиализует полосу. Соответствующее тривиальное расслоение было бы цилиндром, но полоса Мёбиуса имеет общий "скрут". Этот скрут виден только глобально; локально полоса Мёбиуса и цилиндр идентичны (один вертикальный разрез в любом из них дает одно и то же пространство).

Бутылка Кляйна

Аналогичным нетривиальным расслоением является бутылка Кляйна, которую можно рассматривать как "скрученное" окружное расслоение над другим окружением. Соответствующее раскрученное (тривиальное) расслоение — 2-тор, .

Карта покрытия

Покрывающее пространство — это расслоение, для которого проекция расслоения является локальным гомеоморфизмом. Отсюда следует, что волокно является дискретным пространством.

Векторные и основные пучки

Особый класс волокнистых расслоений, называемых векторными расслоениями, – это те, у которых волокна являются векторными пространствами (чтобы расслоение квалифицировалось как векторное, группа структуры расслоения – см. ниже – должна быть линейной группой). Важными примерами векторных расслоений являются тангенциальное расслоение и котангенциальное расслоение гладкого многообразия. Из любого векторного расслоения можно построить расслоение баз, которое является главным расслоением (см. ниже). Другой особый класс волокнистых расслоений, называемых главными расслоениями, – это расслоения, на волокнах которых задано свободное и транзитивное действие группы, так что каждое волокно является главным однородным пространством. Расслоение часто указывается вместе с группой, называясь главным расслоением с этой группой. Эта группа также является группой структуры расслоения. Имея представление группы на векторном пространстве, можно построить векторное расслоение с этой группой в качестве группы структуры, известное как ассоциированное расслоение.

Сфера пучков

Сферический расслоение — это расслоение волокон, волокно которого является n-сферой. Для заданного векторного расслоения с метрикой (например, касательного расслоения к риманову многообразию) можно построить ассоциированное расслоение единичных сфер, для которого волокно над точкой является множеством всех единичных векторов в этом пространстве. Если рассматриваемое векторное расслоение является касательным расслоением, то расслоение единичных сфер называется единичным касательным расслоением. Сферическое расслоение частично характеризуется своим классом Эйлера, который является классом кохомологий степени в полном пространстве расслоения. В случае n=1 сферическое расслоение называется круговым расслоением, а класс Эйлера равен первому классу Черна, который полностью характеризует топологию расслоения. Для любого n, зная класс Эйлера расслоения, можно вычислить его кохомологии, используя длинную точную последовательность, называемую последовательностью Гизина.

Картографирование

Если X — топологическое пространство, а f — гомеоморфизм, то торус отображения имеет естественную структуру расслоения над окружностью с волокном X. Торы отображений гомеоморфизмов поверхностей играют особую роль в трехмерной топологии.

Коэффициентные пространства

Если G — топологическая группа и H — замкнутая подгруппа, то при определенных обстоятельствах фактор-пространство G/H вместе с факторным отображением π: G → G/H является расслоением, волокном которого является топологическое пространство H. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы G/H образовало расслоение, является то, что отображение π допускает локальные сечения. Наиболее общие условия, при которых факторное отображение будет допускать локальные сечения, неизвестны, однако если G — группа Ли и H — замкнутая подгруппа (и, следовательно, подгруппа Ли по теореме Картана), то факторное отображение является расслоением. Одним из примеров этого является фибрация Хопфа S¹ → S³ → S², которая является расслоением над сферой S², общее пространство которого S³ с точки зрения групп Ли можно отождествить со специальной унитарной группой SU(2). Абелева подгруппа диагональных матриц изоморфна круговой группе U(1), а фактор SU(2)/U(1) диффеоморфен сфере S². В более общем случае, если G — любая топологическая группа и H — замкнутая подгруппа, которая также является группой Ли, то G/H является расслоением.

Разделы

Сечение (или поперечное сечение) расслоения — это непрерывное отображение такое, что для всех x из B. Поскольку расслоения, как правило, не имеют глобально определенных сечений, одна из целей теории состоит в том, чтобы объяснить их существование. Препятствие существованию сечения часто можно измерить классом когомологий, что приводит к теории характеристических классов в алгебраической топологии. Наиболее известным примером является теорема о волосатом шаре, где класс Эйлера является препятствием для касательного расслоения 2-сферы, имеющего нигде не обращающийся в ноль сечение. Часто требуется определять сечения только локально (особенно когда глобальных сечений не существует). Локальное сечение волокнистого расслоения — это непрерывное отображение , где U — открытое множество в B и для всех x из U. Если — локальная тривиализация, то над U всегда существуют локальные сечения. Такие сечения находятся во взаимно однозначном соответствии с непрерывными отображениями. Сечения образуют пучок.

Сгустки дифференцируемых волокон

В категории дифференцируемых многообразий, расслоения возникают естественным образом как погружения одного многообразия в другое. Не каждое (дифференцируемое) погружение из дифференцируемого многообразия M в другое дифференцируемое многообразие N порождает дифференцируемое расслоение. Во-первых, отображение должно быть сюръективным и называется волокнистым многообразием. Однако это необходимое условие недостаточно, и существует множество обычно используемых достаточных условий. Если M и N компактны и связны, то любое погружение порождает расслоение в том смысле, что существует расслоение F, диффеоморфное каждому из волокон, так что это расслоение. (Сюръективность следует из уже данных предположений в этом случае.) В более общем случае, предположение о компактности можно ослабить, если погружение является сюръективным собственным отображением, то есть прообраз компактен для каждого компактного подмножества K из N. Другое достаточное условие, установленное , заключается в том, что если является сюръективным погружением с дифференцируемыми многообразиями M и N, таким что прообраз компактен и связен для всех , то допускает совместимую структуру расслоения.

Обобщения

Понятие расслоения применимо ко многим другим категориям в математике, ценой соответствующей модификации условия локальной тривиальности; см. главное однородное пространство и торсор (алгебраическая геометрия). В топологии фибрация — это отображение, обладающее определенными свойствами теории гомотопий, общими с волокнистыми расслоениями. В частности, при умеренных технических предположениях волокнистое расслоение всегда обладает свойством гомотопического подъема или свойством гомотопического покрытия (см. подробности). Это определяющее свойство фибрации. Сечение волокнистого расслоения — это «функция, область значений которой непрерывно зависит от области определения». Это свойство формально отражено в понятии зависимого типа.