Введение

Математическая параметризация векторных пространств другим пространством

В математике векторный расслоение – это топологическая конструкция, которая формализует идею семейства векторных пространств, параметризованных другим пространством (например, это может быть топологическое пространство, многообразие или алгебраическое многообразие): каждой точке пространства мы сопоставляем (или "прикрепляем") векторное пространство таким образом, чтобы эти векторные пространства согласованно образовывали другое пространство того же типа (например, топологическое пространство, многообразие или алгебраическое многообразие), которое затем называется векторным расслоением над . Самый простой пример – случай, когда семейство векторных пространств постоянно, то есть существует фиксированное векторное пространство , такое что для всех в : в этом случае для каждой точки из существует копия , и эти копии вместе образуют векторное расслоение над . Такие векторные расслоения называются тривиальными. Более сложный (и типичный) класс примеров – тангенциальные расслоения гладких (или дифференцируемых) многообразий: каждой точке такого многообразия мы прикрепляем тангенциальное пространство к многообразию в этой точке. Тангенциальные расслоения, как правило, не являются тривиальными расслоениями. Например, тангенциальное расслоение сферы нетривиально согласно теореме о волосатом шаре. В общем случае, многообразие считается параллелизуемым тогда и только тогда, когда его тангенциальное расслоение тривиально. Векторные расслоения почти всегда требуют локальной тривиальности, что означает, что они являются примерами волокнистых расслоений. Также, векторные пространства обычно рассматриваются над действительными или комплексными числами, в этом случае векторное расслоение называется действительным или комплексным векторным расслоением (соответственно). Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как действительные векторные расслоения с дополнительной структурой. В дальнейшем мы сосредоточимся на действительных векторных расслоениях в категории топологических пространств.

Подпакеты

Один из простых методов построения векторных расслоений — взятие подрасслоений других векторных расслоений. Для заданного векторного расслоения над топологическим пространством, подрасслоение — это просто подпространство, для которого ограничение отображения проекции на это подпространство дает структуру векторного расслоения. В этом случае волокно является векторным подпространством для каждой точки базиса. Подраслоение тривиального расслоения не обязательно должно быть тривиальным, и действительно, каждое вещественное векторное расслоение над компактным пространством можно рассматривать как подрасслоение тривиального расслоения достаточно высокой ранга. Например, лента Мёбиуса, нетривиальное линейное расслоение над окружностью, можно рассматривать как подрасслоение тривиального расслоения ранга 2 над окружностью.

Прорезные и локально свободные снопы

При наличии векторного расслоения E → X и открытого подмножества U из X, мы можем рассматривать сечения на U, то есть непрерывные функции s: U → E, где композиция s такова, что для всех u ∈ U. По сути, сечение каждой точке U ставит в соответствие вектор из присоединенного векторного пространства непрерывным образом. Например, сечения тангенциального расслоения дифференциального многообразия – это не что иное, как векторные поля на этом многообразии. Пусть F(U) обозначает множество всех сечений на U. F(U) всегда содержит по крайней мере один элемент, а именно нулевое сечение: функцию s, которая отображает каждый элемент x из U в нулевой элемент векторного пространства −1({x}). При точечном сложении и скалярном умножении сечений, F(U) само становится вещественным векторным пространством. Коллекция этих векторных пространств представляет собой пучок векторных пространств на X. Если s является элементом F(U) и α: U → R – непрерывная функция, то αs (точечное скалярное умножение) принадлежит F(U). Мы видим, что F(U) является модулем над кольцом непрерывных вещественнозначных функций на U. Более того, если OX обозначает структуру пучка непрерывных вещественнозначных функций на X, то F становится пучком модулей OX. Не каждый пучок модулей OX возникает таким образом из векторного расслоения: только локально свободные. (Причина: локально мы ищем сечения проекции U × Rk → U; это именно непрерывные функции U → Rk, и такая функция представляет собой k-кортеж непрерывных функций U → R.)

Более того, категория вещественных векторных расслоений на X эквивалентна категории локально свободных и конечно порожденных пучков модулей OX. Таким образом, мы можем рассматривать категорию вещественных векторных расслоений на X как подкатегорию пучков модулей OX; эта последняя категория является абелевой, поэтому именно в ней мы можем вычислять ядра и коядра морфизмов векторных расслоений. Векторное расслоение ранга n тривиально тогда и только тогда, когда оно имеет n линейно независимых глобальных сечений.

Операции с векторными пучками

Большинство операций над векторными пространствами можно расширить на векторные расслоения, выполняя операцию векторного пространства по волокнам. Например, если E — векторное расслоение над X, то существует расслоение E* над X, называемое двойственным расслоением, волокно которого в точке x ∈ X является двойственным векторным пространством (Ex)*. Формально E* можно определить как множество пар (x, φ), где x ∈ X и φ ∈ (Ex)*. Двойственное расслоение локально тривиально, поскольку двойственное пространство обратной локальной тривиализации E является локальной тривиализацией E*: ключевой момент здесь заключается в том, что операция взятия двойственного векторного пространства является функториальной. Существует множество функториальных операций, которые можно выполнять над парами векторных пространств (над одним и тем же полем), и они непосредственно распространяются на пары векторных расслоений E, F над X (над заданным полем). Приведем несколько примеров. Сумма Уитни (названная в честь Хасслера Уитни) или прямое суммарное расслоение E и F — это векторное расслоение E ⊕ F над X, волокно которого над x является прямой суммой Ex ⊕ Fx векторных пространств Ex и Fx. Тензорное произведение расслоений E ⊗ F определяется аналогичным образом, используя послойное тензорное произведение векторных пространств. Расслоение Hom(E, F) — это векторное расслоение, волокно которого в точке x является пространством линейных отображений из Ex в Fx (которое часто обозначается как Hom(Ex, Fx) или L(Ex, Fx)). Расслоение Hom называется так (и полезно), поскольку существует биекция между гомоморфизмами векторных расслоений из E в F над X и сечениями Hom(E, F) над X. Исходя из предыдущего примера, задав сечение s расслоения эндоморфизмов Hom(E, E) и функцию f: X → R, можно построить собственное расслоение, определяя волокно над точкой x ∈ X как f(x)-собственное пространство линейного отображения s(x): Ex → Ex. Хотя эта конструкция естественна, без должной осторожности полученный объект не будет иметь локальных тривиализаций. Рассмотрим случай, когда s является нулевым сечением, а f имеет изолированные нули. Волокно над этими нулями в полученном "собственном расслоении" будет изоморфно волокну над ними в E, в то время как везде в противном случае волокно является тривиальным 0-мерным векторным пространством. Двойственное векторное расслоение E* является расслоением Hom(E, R × X) гомоморфизмов расслоений E и тривиального расслоения R × X. Существует канонический изоморфизм векторных расслоений Hom(E, F) = E* ⊗ F.

Каждая из этих операций является конкретным примером общей характеристики расслоений: многие операции, которые можно выполнять на категории векторных пространств, также можно выполнять на категории векторных расслоений функториальным образом. Это уточняется на языке гладких функторов. Операция другого типа — построение расслоения обратного образа (pullback). Задан векторное расслоение E → Y и непрерывное отображение f: X → Y, можно "оттянуть" E к векторному расслоению f*E над X. Волокно над точкой x ∈ X по существу является волокном над f(x) ∈ Y. Следовательно, сумму Уитни E ⊕ F можно определить как расслоение обратного образа диагонального отображения из X в X × X, где расслоение над X × X равно E × F.

Примечание: Пусть X — компактное пространство. Любое векторное расслоение E над X является прямым слагаемым тривиального расслоения, то есть существует расслоение E такое, что E ⊕ E тривиально. Это не выполняется, если X не компактно: например, тавтологическое линейное расслоение над бесконечным вещественным проективным пространством не обладает этим свойством.

Дополнительные структуры и обобщения

Векторным расслоениям часто придают дополнительную структуру. Например, векторные расслоения могут быть снабжены метрикой векторного расслоения. Обычно требуется, чтобы эта метрика была положительно определенной, в этом случае каждое волокно E становится евклидовым пространством. Векторное расслоение с комплексной структурой соответствует комплексному векторному расслоению, которое также можно получить, заменив вещественные векторные пространства в определении на комплексные и требуя, чтобы все отображения были комплексно-линейными на волокнах. В более общем случае, дополнительную структуру, наложенную на векторное расслоение, можно обычно понимать с точки зрения результирующего редуцирования группы структуры расслоения. Также могут использоваться векторные расслоения над более общими топологическими полями. Если вместо конечномерного векторного пространства взять в качестве волокна F пространство Банаха, то получится расслоение Банаха. В частности, необходимо требовать, чтобы локальные тривиализации были изоморфизмами пространств Банаха (а не просто линейными изоморфизмами) на каждом из волокон, и чтобы, кроме того, функции перехода были непрерывными отображениями многообразий Банаха. В соответствующей теории для расслоений Cₚ все отображения должны быть Cₚ-гладкими. Векторные расслоения – это частный случай волокнистых расслоений, волокна которых являются векторными пространствами, а коцикл уважает векторно-пространственную структуру. Можно строить более общие волокнистые расслоения, в которых волокно может иметь другую структуру; например, сферические расслоения волокнистые сферами.

Топология и дифференциальная геометрия

Соединение: понятие, необходимое для дифференцирования сечений векторных расслоений. Теория калибровочных полей: общее изучение связностей на векторных и главных расслоениях и их связь с физикой.