Введение
Полимонд (также полиамонд или просто аймонд, или иногда треугольный полиомино) — полиформа, базовой формой которой является равносторонний треугольник. Слово «полимонд» является обратным образованием от слова «алмаз», поскольку это слово часто используется для описания формы, образованной двумя равносторонними треугольниками, соединенными основаниями, а приставка «di-» напоминает греческий префикс, означающий «два» (хотя слово «алмаз» на самом деле происходит от греческого ἀδάμας, который также является основой слова «адамант»). Это название предложил писатель, занимающийся рекреационной математикой, Томас Г. О’Бирн в журнале New Scientist, 1961 год, № 1, страница 164.
Polyiamonds
A polyiamond (also polyamond or simply iamond, or sometimes triangular polyomino) is a polyform whose base form is an equilateral triangle. The word polyiamond is a back formation from diamond, because this word is often used to describe the shape of a pair of equilateral triangles placed base to base, and the initial 'di ' looks like a Greek prefix meaning 'two ' (though diamond actually derives from Greek ἀδάμας also the basis for the word "adamant"). The name was suggested by recreational mathematics writer Thomas H. O'Beirne in New Scientist 1961 number 1, page 164.
Симметрии
Возможными симметриями являются зеркальная симметрия, 2-кратная, 3-кратная и 6-кратная вращательная симметрия, а также каждая из них в сочетании с зеркальной симметрией. Для 2-кратной вращательной симметрии с зеркальной симметрией и без неё требуется соответственно минимум 2 и 4 треугольника. Для 6-кратной вращательной симметрии с зеркальной симметрией и без неё требуется соответственно минимум 6 и 18 треугольников. Асимметрия требует минимум 5 треугольников. 3-кратная вращательная симметрия без зеркальной симметрии требует минимум 7 треугольников. В случае только зеркальной симметрии можно выделить случаи, когда ось симметрии совпадает с сеткой или повернута на 30° (для этого требуется соответственно минимум 4 и 3 треугольника); то же самое справедливо для 3-кратной вращательной симметрии в сочетании с зеркальной симметрией (для этого требуется соответственно минимум 18 и 1 треугольник).
Обобщения
Как и полиомино, но в отличие от полигексов, полииманды имеют трехмерные аналоги, формируемые путем объединения тетраэдров. Однако, в отличие от полиимандов, способных покрывать двумерное пространство, политетраэдры не могут покрыть трехмерное пространство.
Тесселяции
Каждый полиамонд порядка 8 или меньше покрывает плоскость, за исключением V-гептиамонда.
Соответствие с полигексами
Каждый полиямонд соответствует полигексу, как показано справа. Обратно, каждый полигекс также является полиямондом, поскольку каждая шестиугольная ячейка полигекса состоит из шести смежных равносторонних треугольников. Ни одно из этих соответствий не является взаимно однозначным.
В популярной культуре
Набор из 22 полиамонд, от первого порядка до шестого, формирует фигуры для игры в настольную игру Blokus Trigon, где игроки стремятся покрыть плоскость как можно большим количеством полиамондов, соблюдая правила игры.