Замкнутые времениподобные кривые в пространстве-времени

Введение

Мировая линия частицы в пространстве-времени, возвращающаяся в свою начальную точку.

В математической физике, замкнутая времениподобная кривая (CTC) — это мировая линия в лоренцевом многообразии, описывающая траекторию материальной частицы в пространстве-времени, которая является "замкнутой", то есть возвращается в свою начальную точку. Эта возможность была впервые обнаружена Виллемом Якобом ван Стокюмом в 1937 году и позднее подтверждена Куртом Гёделем в 1949 году, который нашёл решение уравнений общей теории относительности (ОТО), допускающее существование CTC, известное как метрика Гёделя. С тех пор были найдены и другие решения ОТО, содержащие CTC, такие как цилиндр Типлера и проходимые червоточины. Если CTC существуют, их существование, по-видимому, подразумевает как минимум теоретическую возможность путешествия во времени в прошлое, что порождает проблему парадокса дедушки, хотя принцип самосогласованности Новикова предполагает, что подобные парадоксы можно избежать. Некоторые физики полагают, что CTC, возникающие в определённых решениях ОТО, могут быть исключены будущей теорией квантовой гравитации, которая заменит ОТО – идею, которую Стивен Хокинг назвал гипотезой хронологической защиты. Другие отмечают, что если каждая замкнутая времениподобная кривая в заданном пространстве-времени проходит через горизонт событий, свойство, которое можно назвать хронологической цензурой, то такое пространство-время с удалёнными горизонтами событий всё равно будет причинно упорядоченным, и наблюдатель, возможно, не сможет обнаружить нарушение причинности.

Световые конусы

Когда физики обсуждают эволюцию системы в общей теории относительности, или, конкретнее, пространство Минковского, они часто ссылаются на «световой конус». Световой конус представляет собой любую возможную будущую эволюцию объекта, учитывая его текущее состояние, или все возможные положения, учитывая его текущее местоположение. Возможные будущие положения объекта ограничены скоростью, с которой он может двигаться, которая в лучшем случае равна скорости света. Например, объект, находящийся в точке p в момент времени t0, может переместиться только в точки в пределах p + c(t1 – t0) к моменту t1. Это обычно изображается на графике, где физические положения отложены по горизонтальной оси, а время – по вертикальной, с единицами измерения времени и ct для пространства. На этом графике световые конусы выглядят как линии под углом 45 градусов, центрированные на объекте, поскольку свет движется со скоростью c. На такой диаграмме каждое возможное будущее положение объекта находится внутри конуса. Кроме того, каждое пространственное положение имеет будущее время, что подразумевает, что объект может оставаться в любой точке пространства неопределенно долго. Любая отдельная точка на такой диаграмме называется событием. Отдельные события считаются разделенными по времени, если они различаются по оси времени, или разделенными по пространству, если они различаются по оси пространства. Если объект находится в свободном падении, он будет двигаться вверх по оси t; если он ускоряется, он также движется по оси x. Фактическая траектория объекта в пространстве-времени, в отличие от возможных траекторий, называется мировой линией. Другое определение: световой конус представляет собой все возможные мировые линии. В «простых» примерах метрик пространства-времени световой конус направлен вперед во времени. Это соответствует распространенному случаю, когда объект не может находиться в двух местах одновременно или, альтернативно, не может мгновенно переместиться в другое место. В этих пространствах-времени мировые линии физических объектов по определению ориентированы во времени. Однако эта ориентация верна только для «локально плоских» пространств-времени. В искривленном пространстве-времени световой конус будет «наклонен» вдоль геодезической пространства-времени. Например, двигаясь вблизи звезды, гравитация звезды будет «тянуть» объект, влияя на его мировую линию, поэтому его возможные будущие положения будут ближе к звезде. Это выглядит как слегка наклоненный световой конус на соответствующей диаграмме пространства-времени. Объект в свободном падении в этом случае продолжает двигаться вдоль своей локальной оси, но внешнему наблюдателю кажется, что он также ускоряется в пространстве — обычная ситуация, например, если объект находится на орбите. В крайних случаях, в пространствах-времени с достаточно высокой кривизной метрики, световой конус может быть наклонен более чем на 45 градусов. Это означает, что существуют потенциальные «будущие» положения, с точки зрения системы отсчета объекта, которые пространственно разделены для наблюдателей во внешней инерциальной системе отсчета. С этой внешней точки зрения объект может мгновенно перемещаться в пространстве. В этих ситуациях объект должен двигаться, поскольку его текущее пространственное положение не будет находиться в его собственном будущем световом конусе. Кроме того, при достаточном наклоне существуют точки событий, которые находятся в «прошлом», как видно извне. При соответствующем движении, которое кажется ему собственной пространственной осью, объект, как кажется, путешествует во времени, как это видно извне. Закрытая времениподобная кривая может быть создана, если серия таких световых конусов расположена таким образом, чтобы они замыкались на себя, что позволит объекту двигаться по этой петле и вернуться в то же место и время, с которого он начал. Объект на такой орбите будет неоднократно возвращаться в одну и ту же точку пространства-времени, если он останется в свободном падении. Возвращение в исходное местоположение пространства-времени было бы лишь одной из возможностей; будущий световой конус объекта включал бы точки пространства-времени как в будущее, так и в прошлое, и поэтому при этих условиях объекту должно быть возможно путешествовать во времени.

When discussing the evolution of a system in general relativity, or more specifically Minkowski space, physicists often refer to a "light cone". A light cone represents any possible future evolution of an object given its current state, or every possible location given its current location. An object's possible future locations are limited by the speed that the object can move, which is at best the speed of light. For instance, an object located at position p at time t0 can only move to locations within p + c(t1 − t0) by time t1. This is commonly represented on a graph with physical locations along the horizontal axis and time running vertically, with units of for time and ct for space. Light cones in this representation appear as lines at 45 degrees centered on the object, as light travels at per On such a diagram, every possible future location of the object lies within the cone. Additionally, every space location has a future time, implying that an object may stay at any location in space indefinitely. Any single point on such a diagram is known as an event. Separate events are considered to be timewise separated if they differ along the time axis, or spacewise separated if they differ along the space axis. If the object were in free fall, it would travel up the t axis; if it accelerates, it moves across the x axis as well. The actual path an object takes through spacetime, as opposed to the ones it could take, is known as the worldline. Another definition is that the light cone represents all possible worldlines. In "simple" examples of spacetime metrics the light cone is directed forward in time. This corresponds to the common case that an object cannot be in two places at once, or alternately that it cannot move instantly to another location. In these spacetimes, the worldlines of physical objects are, by definition, timewise. However this orientation is only true of "locally flat" spacetimes. In curved spacetimes the light cone will be "tilted" along the spacetime's geodesic. For instance, while moving in the vicinity of a star, the star's gravity will "pull" on the object, affecting its worldline, so its possible future positions lie closer to the star. This appears as a slightly tilted lightcone on the corresponding spacetime diagram. An object in free fall in this circumstance continues to move along its local axis, but to an external observer it appears it is accelerating in space as well—a common situation if the object is in orbit, for instance. In extreme examples, in spacetimes with suitably high curvature metrics, the light cone can be tilted beyond 45 degrees. That means there are potential "future" positions, from the object's frame of reference, that are spacelike separated to observers in an external rest frame. From this outside viewpoint, the object can move instantaneously through space. In these situations the object would have to move, since its present spatial location would not be in its own future light cone. Additionally, with enough of a tilt, there are event locations that lie in the "past" as seen from the outside. With a suitable movement of what appears to it its own space axis, the object appears to travel through time as seen externally. A closed timelike curve can be created if a series of such light cones are set up so as to loop back on themselves, so it would be possible for an object to move around this loop and return to the same place and time that it started. An object in such an orbit would repeatedly return to the same point in spacetime if it stays in free fall. Returning to the original spacetime location would be only one possibility; the object's future light cone would include spacetime points both forwards and backwards in time, and so it should be possible for the object to engage in time travel under these conditions.

Последствия

Одной из особенностей КТК является то, что она открывает возможность существования мировой линии, не связанной с более ранними моментами времени, и, следовательно, существование событий, которые нельзя проследить до более ранней причины. Обычно причинность требует, чтобы каждому событию в пространстве-времени предшествовала его причина во всех системах отсчета. Этот принцип критически важен для детерминизма, который в терминах общей теории относительности утверждает, что полное знание Вселенной на пространственно-подобной поверхности Коши позволяет вычислить полное состояние остальной части пространства-времени. Однако в КТК причинность нарушается, поскольку событие может быть "одновременным" со своей причиной – в некотором смысле событие может само себя вызывать. Невозможно определить, основываясь только на знании прошлого, существует ли в КТК что-либо, способное влиять на другие объекты в пространстве-времени. Таким образом, КТК приводит к горизонту Коши и области пространства-времени, которую нельзя предсказать, исходя из полного знания некоторого момента в прошлом. Ни одна КТК не может быть непрерывно деформирована в точку (то есть КТК и точка не являются времени-подобно гомотопными), поскольку многообразие в этой точке не будет причинно-следственно корректным. Топологическая особенность, препятствующая деформации КТК в точку, известна как времени-подобная топологическая особенность. Существование КТК, вероятно, наложит ограничения на физически допустимые состояния материи и энергетических полей во Вселенной. Распространение конфигурации поля вдоль семейства замкнутых времени-подобных мировых линий, согласно этим аргументам, должно в конечном итоге привести к состоянию, идентичному исходному. Эта идея была исследована некоторыми учеными как возможный подход к опровержению существования КТК. Хотя были предложены квантовые формулировки КТК, серьезным вызовом для них является их способность свободно создавать запутанность, что, согласно предсказаниям квантовой теории, невозможно. Если выполняется предписание Дойча, то существование этих КТК также подразумевает эквивалентность квантовых и классических вычислений (в PSPACE). Если выполняется предписание Ллойда, квантовые вычисления будут PP-полными.

One feature of a CTC is that it opens the possibility of a worldline which is not connected to earlier times, and so the existence of events that cannot be traced to an earlier cause. Ordinarily, causality demands that each event in spacetime is preceded by its cause in every rest frame. This principle is critical in determinism, which in the language of general relativity states complete knowledge of the universe on a spacelike Cauchy surface can be used to calculate the complete state of the rest of spacetime. However, in a CTC, causality breaks down, because an event can be "simultaneous" with its cause—in some sense an event may be able to cause itself. It is impossible to determine based only on knowledge of the past whether or not something exists in the CTC that can interfere with other objects in spacetime. A CTC therefore results in a Cauchy horizon, and a region of spacetime that cannot be predicted from perfect knowledge of some past time. No CTC can be continuously deformed as a CTC to a point (that is, a CTC and a point are not timelike homotopic), as the manifold would not be causally well behaved at that point. The topological feature which prevents the CTC from being deformed to a point is known as a timelike topological feature. The existence of CTCs would arguably place restrictions on physically allowable states of matter energy fields in the universe. Propagating a field configuration along the family of closed timelike worldlines must, according to such arguments, eventually result in the state that is identical to the original one. This idea has been explored by some scientists as a possible approach towards disproving the existence of CTCs. While quantum formulations of CTCs have been proposed, a strong challenge to them is their ability to freely create entanglement, which quantum theory predicts is impossible. If Deutsch's prescription holds, the existence of these CTCs implies also equivalence of quantum and classical computation (both in PSPACE). If Lloyd's prescription holds, quantum computations would be PP complete.

Сжимаемые и не сжимаемые

Существует два класса КТК. Есть КТК, стягиваемые в точку (если мы больше не требуем, чтобы они были повсюду ориентированы в будущее), и есть КТК, которые не стягиваемы. Для последних мы всегда можем перейти в универсальное накрывающее пространство и восстановить причинность. Для первых такая процедура невозможна. Ни одна замкнутая времениподобная кривая не может быть стянута в точку времениподобной гомотопией среди времениподобных кривых, поскольку эта точка не будет иметь корректного причинного поведения. С каждой замкнутой нулевой геодезической связан фактор красного смещения, описывающий перемасштабирование скорости изменения аффинного параметра вдоль замкнутой траектории. Из-за этого фактора красного смещения аффинный параметр обрывается на конечном значении после бесконечного числа оборотов, поскольку соответствующий геометрический ряд сходится.