Введение

Математическое пространство с понятием близости. В математике топологическое пространство — это, грубо говоря, геометрическое пространство, в котором понятие близости определено, но не обязательно может быть измерено числовым расстоянием. Более конкретно, топологическое пространство — это множество, элементы которого называются точками, вместе с дополнительной структурой, называемой топологией, которую можно определить как семейство окрестностей для каждой точки, удовлетворяющее определенным аксиомам, формализующим понятие близости. Существует несколько эквивалентных определений топологии, наиболее часто используемым из которых является определение через открытые множества, с которыми проще работать, чем с другими. Топологическое пространство — это наиболее общий тип математического пространства, позволяющий определять пределы, непрерывность и связность. К распространенным типам топологических пространств относятся евклидовы пространства, метрические пространства и многообразия. Несмотря на свою общность, понятие топологического пространства является фундаментальным и используется практически во всех областях современной математики. Изучение топологических пространств как самостоятельной дисциплины называется топологией множеств или общей топологией.

История

Около 1735 года Леонард Эйлер открыл формулу, связывающую количество вершин (V), ребер (E) и граней (F) выпуклого многогранника, а следовательно, и плоского графа. Изучение и обобщение этой формулы, в частности, Коши (1789–1857) и Л’Хюлье (1750–1840), способствовали развитию топологии. В 1827 году Карл Фридрих Гаусс опубликовал «Общие исследования изогнутых поверхностей», в котором в разделе 3 определяет изогнутую поверхность аналогично современному топологическому пониманию: «Изогнутая поверхность считается обладающей непрерывной кривизной в одной из своих точек A, если направление всех прямых, проведенных из A к точкам поверхности на бесконечно малом расстоянии от A, отклоняется бесконечно мало от одной и той же плоскости, проходящей через A». Однако, «до работ Римана в начале 1850-х годов, поверхности всегда рассматривались с локальной точки зрения (как параметрические поверхности), и топологические вопросы не рассматривались». Мёбиус и Жордан, по-видимому, первыми осознали, что основная проблема топологии (компактных) поверхностей заключается в поиске инвариантов (предпочтительно числовых) для определения эквивалентности поверхностей, то есть для определения, являются ли две поверхности гомеоморфными или нет. Предмет исследования четко определен Феликсом Клейном в его «Эрлангенской программе» (1872): геометрия инвариантов произвольных непрерывных преобразований, своего рода геометрия. Термин «топология» был введен Иоганном Бенедиктом Листингом в 1847 году, хотя он использовал этот термин в переписке за несколько лет до этого вместо ранее использовавшегося «Analysis situs». Основы этой науки для пространства любой размерности были заложены Анри Пуанкаре. Его первая статья на эту тему появилась в 1894 году. В 1930-х годах Джеймс Уодделл Александр II и Хасслер Уитни впервые высказали идею о том, что поверхность — это топологическое пространство, локально подобное евклидовой плоскости. Топологические пространства были впервые определены Феликсом Хаусдорфом в 1914 году в его основополагающей работе «Принципы теории множеств». Метрические пространства были определены ранее в 1906 году Морисом Фреше, хотя именно Хаусдорф популяризировал термин «метрическое пространство» (metrischer Raum).

Определения

Полезность концепции топологии проявляется в том, что существует несколько эквивалентных определений этой математической структуры. Таким образом, выбирают аксиоматизацию, наиболее подходящую для конкретной задачи. Чаще всего используется определение через открытые множества, но, возможно, более интуитивным является определение через окрестности, поэтому оно и приводится в первую очередь.

Непрерывные функции

Функция между топологическими пространствами называется непрерывной, если для каждой точки и каждого ее окрестности существует окрестность точки, такая что . Это легко соотносится с обычным определением в анализе. Эквивалентно, функция непрерывна, если обратное изображение каждого открытого множества является открытым. Это попытка передать интуицию о том, что в функции нет "разрывов" или "разделений". Гомеоморфизм – это биекция, которая непрерывна, и обратная к которой также непрерывна. Два пространства называются гомеоморфными, если между ними существует гомеоморфизм. С точки зрения топологии, гомеоморфные пространства по существу идентичны. В теории категорий одной из фундаментальных категорий является Top, обозначающая категорию топологических пространств, объекты которой – топологические пространства, а морфизмы – непрерывные функции. Попытка классифицировать объекты этой категории (с точностью до гомеоморфизма) с помощью инвариантов послужила стимулом для развития таких областей исследований, как теория гомотопии, теория гомологии и K-теория.

Примеры топологических пространств

Данное множество может иметь множество различных топологий. Если множеству задать другую топологию, оно рассматривается как другое топологическое пространство. Любому множеству можно задать дискретную топологию, в которой каждое подмножество открыто. Единственными сходящимися последовательностями или сетями в этой топологии являются те, которые в конечном итоге становятся постоянными. Также любому множеству можно задать тривиальную топологию (также называемую неразличимой топологией), в которой открыты только пустое множество и само пространство. Каждая последовательность и сеть в этой топологии сходится к каждой точке пространства. Этот пример показывает, что в общих топологических пространствах пределы последовательностей не обязательно должны быть единственными. Однако часто топологические пространства должны быть пространствами Хаусдорфа, где предельные точки единственны.

Метрические пространства

Метрические пространства определяются метрикой – точным понятием расстояния между точками. Каждому метрическому пространству можно придать метрическую топологию, в которой основными открытыми множествами являются открытые шары, заданные метрикой. Это стандартная топология на любом нормированном векторном пространстве. На конечномерном векторном пространстве эта топология одинакова для всех норм. Существует множество способов определения топологии на множестве вещественных чисел. Стандартная топология на **R** порождается открытыми интервалами. Множество всех открытых интервалов образует базу или основание топологии, то есть любое открытое множество является объединением некоторого набора множеств из базы. В частности, это означает, что множество открыто, если для каждой его точки существует открытый интервал ненулевого радиуса, содержащий эту точку. В более общем случае, евклидовым пространствам можно придать топологию. В обычной топологии на **R<sup>n</sup>** основными открытыми множествами являются открытые шары. Аналогично, множество комплексных чисел **C** и **R<sup>n</sup>** имеют стандартную топологию, в которой основными открытыми множествами являются открытые шары.

Классификация топологических пространств

Топологические пространства могут быть широко классифицированы, вплоть до гомеоморфизма, по их топологическим свойствам. Топологическое свойство — это свойство пространства, которое сохраняется при гомеоморфизмах. Чтобы доказать, что два пространства не гомеоморфны, достаточно найти топологическое свойство, которым одно из них не обладает, а другое — обладает. Примеры таких свойств включают связность, компактность и различные аксиомы разделения. Для алгебраических инвариантов обратитесь к алгебраической топологии.

Топологические пространства с алгебраической структурой

Для любых алгебраических объектов можно ввести дискретную топологию, при которой алгебраические операции являются непрерывными функциями. Для любой такой структуры, не являющейся конечной, часто существует естественная топология, согласованная с алгебраическими операциями, в том смысле, что эти операции остаются непрерывными. Это приводит к таким понятиям, как топологические группы, топологические векторные пространства, топологические кольца и локальные поля.

Топологические пространства с структурой порядка

Спектральное: Пространство называется спектральным тогда и только тогда, когда оно является простым спектром кольца (теорема Хохстера). Предварительный порядок специализации: В пространстве предварительный порядок специализации (или канонический предварительный порядок) определяется соотношением если и только если , где обозначает оператор, удовлетворяющий аксиомам Куратовского для замыкания.