Введение

Дифференциальный оператор второго порядка

В специальной теории относительности, электромагнетизме и волновой теории оператор д’Алембера (обозначается квадратом: □), также называемый д’алембертианом, волновым оператором, оператором коробки или иногда оператором квабла (см. символ набла) является оператором Лапласа в пространстве Минковского. Оператор назван в честь французского математика и физика Жана Лерона д’Алембера. В пространстве Минковского, в стандартных координатах (t, x, y, z), он имеет вид:

где Δ – трехмерный лапласиан, а η^(μν) – обратная метрика Минковского, для которой η^(00) = -1, η^(11) = η^(22) = η^(33) = 1. Обратите внимание, что суммирующие индексы μ и ν изменяются от 0 до 3: см. соглашение Эйнштейна. (Некоторые авторы используют отрицательную сигнатуру метрики (− + + +), с η^(00) = 1.) Преобразования Лоренца оставляют метрику Минковского инвариантной, поэтому д’алембертиан дает скаляр Лоренца. Приведенные выражения координат остаются справедливыми для стандартных координат в любой инерциальной системе отсчета.

Символ ящика и альтернативные обозначения

Существует множество обозначений для оператора д’Аламбера. Наиболее распространёнными являются символ коробки (Unicode: ), чьи четыре стороны представляют четыре измерения пространства-времени, и символ коробки в квадрате, который подчёркивает скалярную природу оператора благодаря квадратичному члену (подобно лапласиану). В соответствии с треугольной нотацией для лапласиана, иногда используется . Другой способ записи оператора д’Аламбера в плоских стандартных координатах – это . Это обозначение широко используется в квантовой теории поля, где частные производные обычно индексируются, поэтому отсутствие индекса у квадратичной частной производной указывает на присутствие оператора д’Аламбера. Иногда символ коробки используется для обозначения четырехмерной ковариантной производной Леви-Чивиты. Тогда символ используется для обозначения пространственных производных, однако это зависит от выбранной системы координат.