Введение
Ортогональная группа неопределенной квадратичной формы
In mathematics, the indefinite orthogonal group, O(p, q) is the Lie group of all linear transformations of an n dimensional real vector space that leave invariant a nondegenerate, symmetric bilinear form of signature (p, q), where 1=n = p + q. It is also called the pseudo orthogonal group or generalized orthogonal group. The dimension of the group is n(n − 1)/2. The indefinite special orthogonal group, SO(p, q) is the subgroup of O(p, q) consisting of all elements with determinant 1. Unlike in the definite case, SO(p, q) is not connected – it has 2 components – and there are two additional finite index subgroups, namely the connected SO+(p, q) and O+(p, q), which has 2 components – see for definition and discussion. The signature of the form determines the group up to isomorphism; interchanging p with q amounts to replacing the metric by its negative, and so gives the same group. If either p or q equals zero, then the group is isomorphic to the ordinary orthogonal group O(n). We assume in what follows that both p and q are positive. The group O(p, q) is defined for vector spaces over the reals. For complex spaces, all groups O(p, q; C) are isomorphic to the usual orthogonal group O(p + q; C), since the transform changes the signature of a form. This should not be confused with the indefinite unitary group U(p, q) which preserves a sesquilinear form of signature (p, q). In even dimension 1=n = 2p, O(p, p) is known as the split orthogonal group.
В математике неопределенная ортогональная группа, O(p, q), является группой Ли всех линейных преобразований n-мерного вещественного векторного пространства, сохраняющих невырожденную симметричную билинейную форму сигнатуры (p, q), где n = p + q. Она также называется псевдоортогональной или обобщенной ортогональной группой. Размерность группы равна n(n − 1)/2. Неопределенная специальная ортогональная группа, SO(p, q), является подгруппой O(p, q), состоящей из всех элементов с определителем 1. В отличие от определенного случая, SO(p, q) не связна – она имеет 2 компоненты связности – и существуют две дополнительные подгруппы конечного индекса, а именно связные SO+(p, q) и O+(p, q), которая имеет 2 компоненты связности – подробности и определения см. в [ссылка]. Сигнатура формы определяет группу с точностью до изоморфизма; перестановка p и q эквивалентна замене метрики на противоположную по знаку, что приводит к той же группе. Если p или q равно нулю, то группа изоморфна обычной ортогональной группе O(n). В дальнейшем мы будем считать, что и p, и q положительны. Группа O(p, q) определена для векторных пространств над вещественными числами. Для комплексных пространств все группы O(p, q; C) изоморфны обычной ортогональной группе O(p + q; C), поскольку преобразование изменяет сигнатуру формы. Это не следует путать с неопределенной унитарной группой U(p, q), которая сохраняет сесквилинейную форму сигнатуры (p, q). В четном измерении, когда n = 2p, O(p, p) называется расщепленной ортогональной группой.
In mathematics, the indefinite orthogonal group, O(p, q) is the Lie group of all linear transformations of an n dimensional real vector space that leave invariant a nondegenerate, symmetric bilinear form of signature (p, q), where 1=n = p + q. It is also called the pseudo orthogonal group or generalized orthogonal group. The dimension of the group is n(n − 1)/2. The indefinite special orthogonal group, SO(p, q) is the subgroup of O(p, q) consisting of all elements with determinant 1. Unlike in the definite case, SO(p, q) is not connected – it has 2 components – and there are two additional finite index subgroups, namely the connected SO+(p, q) and O+(p, q), which has 2 components – see for definition and discussion. The signature of the form determines the group up to isomorphism; interchanging p with q amounts to replacing the metric by its negative, and so gives the same group. If either p or q equals zero, then the group is isomorphic to the ordinary orthogonal group O(n). We assume in what follows that both p and q are positive. The group O(p, q) is defined for vector spaces over the reals. For complex spaces, all groups O(p, q; C) are isomorphic to the usual orthogonal group O(p + q; C), since the transform changes the signature of a form. This should not be confused with the indefinite unitary group U(p, q) which preserves a sesquilinear form of signature (p, q). In even dimension 1=n = 2p, O(p, p) is known as the split orthogonal group.
Примеры
Основным примером служат сжимающие отображения, представляющие собой группу SO+(1, 1) (компоненту единицы) линейных преобразований, сохраняющих единичную гиперболу. Конкретно, это матрицы и их можно интерпретировать как гиперболические вращения, подобно тому, как группа SO(2) интерпретируется как круговые вращения. В физике группа Лоренца O(1,3) имеет центральное значение, поскольку она является основой для электромагнетизма и специальной теории относительности. (В некоторых текстах для группы Лоренца используется обозначение O(3,1); однако O(1,3) более распространена в квантовой теории поля, так как геометрические свойства уравнения Дирака выглядят более естественными в O(1,3).)
Разделенная ортогональная группа
В четных измерениях средняя группа O(n, n) известна как расщепленная ортогональная группа и представляет особый интерес, поскольку, например, она возникает как группа преобразований T-двойственности в теории струн. Это расщепленная группа Ли, соответствующая комплексной алгебре Ли so₂ₙ (группа Ли расщепленной вещественной формы алгебры Ли); точнее, компонента единицы является расщепленной группой Ли, поскольку неединичные компоненты не могут быть восстановлены из алгебры Ли. В этом смысле она противоположна определенной ортогональной группе O(n) := O(n, 0) = O(0, n), которая является компактной вещественной формой комплексной алгебры Ли. Группа SO(1, 1) может быть отождествлена с группой единичных расщепленных комплексных чисел. С точки зрения группы типа Ли – то есть построения алгебраической группы из алгебры Ли – расщепленные ортогональные группы являются группами Шевалле, в то время как нерасщепленные ортогональные группы требуют несколько более сложного построения и являются группами Штайнберга. Расщепленные ортогональные группы используются для построения обобщенного флага над неалгебраически замкнутыми полями.