Введение
Бесконечное кардинальное число
В математике, особенно в теории множеств, алеф-числа — это последовательность чисел, используемых для представления кардинальности (или мощности) бесконечных множеств, которые можно хорошо упорядочить. Они были введены математиком Георгом Кантором и названы в честь символа, который он использовал для их обозначения, еврейской буквы алеф (ℵ). Кардинальность натуральных чисел равна ℵ₀ (читается «алеф-нуль»), следующая большая кардинальность хорошо упорядоченного множества — ℵ₁, затем ℵ₂ и так далее. Продолжая таким образом, можно определить кардинальное число ℵα для каждого ординального числа α, как описано ниже. Концепция и обозначение принадлежат Георгу Кантору, который определил понятие кардинальности и осознал, что бесконечные множества могут иметь различные кардинальности. Алеф-числа отличаются от бесконечности (∞), обычно встречающейся в алгебре и математическом анализе, тем, что алеф-числа измеряют мощность множеств, в то время как бесконечность обычно определяется либо как предельное значение на числовой прямой (применительно к функции или последовательности, стремящейся к бесконечности или возрастающей неограниченно), либо как предельная точка расширенной числовой прямой.
who defined the notion of cardinality and realized that infinite sets can have different cardinalities. The aleph numbers differ from the infinity (∞) commonly found in algebra and calculus, in that the alephs measure the sizes of sets, while infinity is commonly defined either as an extreme limit of the real number line (applied to a function or sequence that "diverges to infinity" or "increases without bound"), or as an extreme point of the extended real number line.
Алеф-один
ℵ1 по определению является кардинальностью множества всех счётных ординальных чисел. Это множество обозначается ω1 (или иногда Ω). Множество ω1 само по себе является ординальным числом, большим, чем все счётные, следовательно, это несчётное множество. Поэтому ℵ1 отличается от ℵ0. Определение ℵ1 подразумевает (в ZF, теории множеств Цермело — Френкеля без аксиомы выбора), что между ℵ0 и ℵ1 нет кардинального числа. Если использовать аксиому выбора, можно дополнительно доказать, что класс кардинальных чисел вполне упорядочен, и, таким образом, ℵ1 является вторым наименьшим бесконечным кардинальным числом. Можно показать одно из наиболее полезных свойств множества ω1: любое счётное подмножество ω1 имеет верхнюю грань в ω1 (это следует из того факта, что объединение счётного числа счётных множеств само по себе является счётным). Этот факт аналогичен ситуации с ℵ0: каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимум, который также является натуральным числом, и конечные объединения конечных множеств конечны. Ординал ω1 на самом деле является полезной концепцией, хотя и звучит несколько экзотично. Примером применения является «замыкание» относительно счётных операций, например, попытка явно описать σ-алгебру, порождённую произвольным семейством подмножеств (см., например, иерархию Бореля). Это сложнее, чем большинство явных описаний «порождения» в алгебре (векторные пространства, группы и т. д.), поскольку в этих случаях достаточно замыкаться относительно конечных операций — сумм, произведений и т. п. Процесс включает в себя определение, для каждого счётного ординала, посредством трансфинитной индукции, множества путём «добавления» всех возможных счётных объединений и дополнений, и взятия объединения всего этого по всем ω1.
Гипотеза континуума
Кардинальность множества действительных чисел (кардинальность континуума) равна 2ℵ₀. Невозможно определить из ZFC (теории множеств Зермело — Френкеля, дополненной аксиомой выбора), где именно это число располагается в иерархии чисел алеф, но из ZFC следует, что гипотеза континуума (CH) эквивалентна равенству 2ℵ₀ = ℵ₁. Гипотеза континуума утверждает, что не существует множества, кардинальность которого строго больше кардинальности целых чисел и строго меньше кардинальности действительных чисел. Гипотеза CH независима от ZFC: её нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках этой аксиоматической системы (при условии, что ZFC непротиворечива). Согласованность CH с ZFC была доказана Куртом Гёделем в 1940 году, когда он показал, что отрицание CH не является теоремой ZFC. Независимость CH от ZFC была доказана Полом Коэном в 1963 году, когда он показал, что и сама CH не является теоремой ZFC, используя (тогда новый) метод принуждения.
2ℵ0 = ℵ1. The CH states that there is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and the real numbers. CH is independent of ZFC: It can be neither proven nor disproven within the context of that axiom system (provided that ZFC is consistent). That CH is consistent with ZFC was demonstrated by Kurt Gödel in 1940, when he showed that its negation is not a theorem of ZFC. That it is independent of ZFC was demonstrated by Paul Cohen in 1963, when he showed conversely that the CH itself is not a theorem of ZFC – by the (then novel) method of forcing.
Роль аксиомы выбора
Кардинальность любого бесконечного порядкового числа является числом алеф. Каждый алеф является кардинальностью некоторого порядкового числа. Наименьшее из них – его начальный ординал. Любое множество, кардинальность которого является алефом, равномощно некоторому ординалу и, следовательно, хорошо упорядочимо. Каждое конечное множество хорошо упорядочимо, но не имеет алефа в качестве своей кардинальности. В системе ZF предположение о том, что кардинальность каждого бесконечного множества является числом алеф, эквивалентно существованию хорошего упорядочения для каждого множества, что, в свою очередь, эквивалентно аксиоме выбора. Теория множеств ZFC, включающая аксиому выбора, подразумевает, что каждое бесконечное множество имеет число алеф в качестве своей кардинальности (то есть равномощно своему начальному ординалу), и, таким образом, начальные ординалы чисел алеф служат классом представителей для всех возможных бесконечных кардинальных чисел. При изучении кардинальности в ZF без аксиомы выбора уже невозможно доказать, что каждое бесконечное множество имеет некоторое число алеф в качестве своей кардинальности; множества, кардинальность которых является числом алеф, – это именно бесконечные множества, которые можно хорошо упорядочить. Метод трюка Скотта иногда используется как альтернативный способ построения представителей для кардинальных чисел в контексте ZF. Например, можно определить card(S) как множество множеств с той же кардинальностью, что и S, минимально возможного ранга. Это обладает свойством, что card(S) = card(T) тогда и только тогда, когда S и T имеют одинаковую кардинальность. (Множество card(S) в общем случае не имеет ту же кардинальность, что и S, но все его элементы имеют.)