Введение

Наибольшее и наименьшее значение, принимаемое функцией в данной точке.

В математическом анализе максимальное и минимальное значения функции – это, соответственно, наибольшее и наименьшее значения, которые принимает функция. Эти значения, известные в общем как экстремумы, могут быть определены либо в пределах заданного интервала (локальные или относительные экстремумы), либо на всей области определения функции (глобальные или абсолютные экстремумы). Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложивших общий метод – метод поиска точек, где производная равна нулю – для нахождения максимумов и минимумов функций. Как определено в теории множеств, максимум и минимум множества – это наибольший и наименьший элементы множества, соответственно. Неограниченные бесконечные множества, такие как множество действительных чисел, не имеют ни минимума, ни максимума. В статистике соответствующими понятиями являются выборочный максимум и выборочный минимум.

Поиск

Поиск глобальных максимумов и минимумов – это цель математической оптимизации. Если функция непрерывна на замкнутом интервале, то, согласно теореме о наибольшем и наименьшем значениях, глобальные максимумы и минимумы существуют. Более того, глобальный максимум (или минимум) либо должен быть локальным максимумом (или минимумом) во внутренней области определения, либо лежать на границе области определения. Таким образом, метод поиска глобального максимума (или минимума) состоит в том, чтобы рассмотреть все локальные максимумы (или минимумы) во внутренней области, а также максимумы (или минимумы) точек на границе и выбрать наибольшее (или наименьшее) из них. Для дифференцируемых функций теорема Ферма утверждает, что локальные экстремумы во внутренней области должны возникать в критических точках (или в точках, где производная равна нулю). Однако не все критические точки являются экстремумами. Часто можно определить, является ли критическая точка локальным максимумом, локальным минимумом или ни тем, ни другим, используя первый критерий производной, второй критерий производной или критерий производной более высокого порядка, при условии достаточной дифференцируемости. Для любой функции, заданной по частям, максимум (или минимум) находится путем определения максимума (или минимума) каждой части отдельно, а затем определения, какая из них является наибольшей (или наименьшей).

Функции более чем одной переменной

Для функций более чем одной переменной применяются аналогичные условия. Например, на (увеличиваемом) рисунке справа необходимые условия для локального максимума аналогичны условиям функции с одной переменной. Первые частные производные по z (переменной, которую необходимо максимизировать) равны нулю в точке максимума (светящаяся точка на вершине рисунка). Вторые частные производные отрицательны. Это лишь необходимые, но недостаточные условия для локального максимума из-за возможности седловой точки. Для использования этих условий при решении задачи нахождения максимума функция z также должна быть дифференцируемой во всей области определения. Второй тест по частным производным может помочь классифицировать точку как локальный максимум или локальный минимум. В отличие от этого, существуют существенные различия между функциями одной переменной и функциями более чем одной переменной в идентификации глобальных экстремумов. Например, если ограниченная дифференцируемая функция f, определенная на замкнутом интервале на вещественной прямой, имеет единственную критическую точку, которая является локальным минимумом, то она также является глобальным минимумом (докажите это от противного, используя теорему о промежуточном значении и теорему Ролля). В двух и более измерениях этот аргумент не верен. Это иллюстрируется функцией, единственная критическая точка которой находится в (0,0), что является локальным минимумом при f(0,0) = 0. Однако она не может быть глобальным минимумом, поскольку f(2,3) = −5.

Максимальные или минимальные значения функционального

Если область определения функции, для которой требуется найти экстремум, сама состоит из функций (то есть если требуется найти экстремум функционала), то экстремум находится с помощью вариационного исчисления.

В отношении наборов

Максимумы и минимумы также могут быть определены для множеств. В общем случае, если упорядоченное множество S имеет наибольший элемент m, то m является максимальным элементом множества, также обозначаемым как. Кроме того, если S является подмножеством упорядоченного множества T и m является наибольшим элементом S (относительно порядка, индуцированного T), то m является наименьшей верхней гранью S в T. Аналогичные результаты справедливы для наименьшего элемента, минимального элемента и наибольшей нижней грани. Функции максимума и минимума для множеств используются в базах данных и могут быть вычислены быстро, поскольку максимум (или минимум) множества может быть вычислен из максимумов его разбиения; формально, это самодекомпозируемые агрегирующие функции. В случае общего частичного порядка наименьший элемент (то есть элемент, меньший всех остальных) не следует путать с минимальным элементом (нет элемента, который был бы меньше). Аналогично, наибольший элемент частично упорядоченного множества (посета) является верхней гранью множества, которая содержится в самом множестве, в то время как максимальный элемент m посета A – это элемент A, такой что если m ≤ b (для любого b из A), то m = b. Любой наименьший или наибольший элемент посета уникален, но в посете может быть несколько минимальных или максимальных элементов. Если в посете более одного максимального элемента, то эти элементы не будут взаимно сопоставимы. В полностью упорядоченном множестве, или цепочке, все элементы взаимно сопоставимы, поэтому такое множество может иметь не более одного минимального элемента и не более одного максимального элемента. Тогда, благодаря взаимной сопоставимости, минимальный элемент также будет наименьшим элементом, а максимальный элемент также будет наибольшим элементом. Таким образом, в полностью упорядоченном множестве можно просто использовать термины минимум и максимум. Если цепочка конечна, то у нее всегда будет максимум и минимум. Если цепочка бесконечна, то она необязательно должна иметь максимум или минимум. Например, множество натуральных чисел не имеет максимума, хотя имеет минимум. Если бесконечная цепочка S ограничена, то замыкание Cl(S) множества иногда имеет минимум и максимум, в этом случае они называются наибольшей нижней гранью и наименьшей верхней гранью множества S соответственно.