Введение

Элемент, который не ≤ (или ≥) любого другого элемента.

В математике, особенно в теории порядка, максимальный элемент подмножества некоторого предварительно упорядоченного множества – это элемент, который не меньше любого другого элемента в этом подмножестве. Минимальный элемент подмножества некоторого предварительно упорядоченного множества определяется двойственно как элемент, который не больше любого другого элемента в этом подмножестве. Понятия максимального и минимального элементов слабее, чем понятия наибольшего элемента и наименьшего элемента, которые также известны как максимум и минимум соответственно. Максимум подмножества предварительно упорядоченного множества – это элемент, который больше или равен любому другому элементу этого подмножества, а минимум определяется двойственным образом. В частном случае частично упорядоченного множества, хотя может быть не более одного максимума и не более одного минимума, может быть несколько максимальных или минимальных элементов. При специализации на полностью упорядоченных множествах понятия максимального элемента и максимума совпадают, а понятия минимального элемента и минимума совпадают. Например, в коллекции, упорядоченной по включению, элемент {d, o} является минимальным, поскольку он не включает ни одного множества из коллекции, элемент {g, o, a, d} является максимальным, поскольку в коллекции нет множеств, которые включали бы его, элемент {d, o, g} не является ни тем, ни другим, а элемент {o, a, f} является одновременно минимальным и максимальным. Напротив, ни максимум, ни минимум не существуют для…

Лемма Зорна утверждает, что каждое частично упорядоченное множество, для которого каждое полностью упорядоченное подмножество имеет верхнюю границу, содержит по крайней мере один максимальный элемент. Эта лемма эквивалентна теореме о хорошем упорядочении и аксиоме выбора и влечет за собой важные результаты в других математических областях, таких как теорема Ханна — Банаха, теорема Киршбрауна, теорема Тихонова, существование базиса Гамеля для каждого векторного пространства и существование алгебраического замыкания для каждого поля.

Направленные наборы

В полностью упорядоченном множестве понятия максимального и наибольшего элемента совпадают, поэтому оба термина используются как взаимозаменяемые в таких областях, как математический анализ, где рассматриваются исключительно полные порядки. Это замечание применимо не только к полностью упорядоченным подмножествам любого частично упорядоченного множества, но и к их теоретико-порядковому обобщению посредством направленных множеств. В направленном множестве для любой пары элементов (в особенности, для пар несравнимых элементов) существует общая верхняя граница, принадлежащая этому множеству. Если направленное множество имеет максимальный элемент, то он же является и наибольшим, и, следовательно, единственным максимальным элементом. Примеры направленных множеств, не имеющих максимальных или наибольших элементов, приведены в примерах 1 и 2 выше. Аналогичные утверждения справедливы и для минимальных элементов. Более подробная вводная информация содержится в статье, посвященной теории порядка.

Свойства

Каждое конечное непустое подмножество имеет как максимальные, так и минимальные элементы. Бесконечное подмножество не обязано иметь какие-либо из них, например, множество целых чисел с обычным порядком. Множество максимальных элементов подмножества всегда является антицепью, то есть никакие два различных максимальных элемента не сопоставимы. То же самое справедливо и для минимальных элементов.

Примеры

В эффективности Парето, оптимум Парето — это максимальный элемент относительно частичного порядка улучшения Парето, а множество максимальных элементов называется границей Парето. В теории принятия решений, допустимое правило принятия решений является максимальным элементом относительно частичного порядка доминирующего правила принятия решений. В современной теории портфеля, множество максимальных элементов относительно порядка произведения риска и доходности называется эффективной границей. В теории множеств, множество конечно тогда и только тогда, когда каждое непустое семейство подмножеств имеет минимальный элемент при упорядочивании отношением включения. В абстрактной алгебре, понятие максимального общего делителя необходимо для обобщения наибольшего общего делителя на системы чисел, в которых общие делители набора элементов могут иметь более одного максимального элемента. В вычислительной геометрии, максимумы множества точек являются максимальными относительно частичного порядка покомпонентного доминирования.