Взаимоисключающие события и предложения

Введение

Два предложения или события, которые не могут быть одновременно истинными. Логическая исключительность событий и предложений.

В логике и теории вероятностей два события (или предложения) являются взаимоисключающими или непересекающимися, если они не могут произойти одновременно. Наглядным примером является множество исходов одного броска монеты, который может дать либо орёл, либо решку, но не оба одновременно. В примере с монетой оба исхода теоретически являются коллективно исчерпывающими, то есть по крайней мере один из исходов обязательно произойдет, и вместе эти две возможности охватывают все возможные исходы. Однако не все взаимоисключающие события являются коллективно исчерпывающими. Например, исходы 1 и 4 при одном броске шестигранного кубика являются взаимоисключающими (они не могут произойти одновременно), но не коллективно исчерпывающими (существуют и другие возможные исходы: 2, 3, 5, 6).

Логика

В логике два высказывания и являются взаимоисключающими, если логически невозможно, чтобы они были истинными одновременно; то есть, ¬(∧) является тавтологией. Утверждение о том, что более двух высказываний являются взаимоисключающими, в зависимости от контекста, может означать либо 1. ¬(∧) является тавтологией (логически невозможно, чтобы более одного высказывания было истинным), либо 2. ¬(∧) является тавтологией (логически невозможно, чтобы все высказывания были истинными одновременно). Термин "попарно взаимоисключающие" всегда означает первое.

Вероятность

В теории вероятностей события E1, E2, …, En называются взаимоисключающими, если наступление любого из них исключает наступление остальных n–1 событий. Следовательно, два взаимоисключающих события не могут произойти одновременно. Формально, множество событий является множеством взаимоисключающих событий тогда и только тогда, когда для любого , если , то . Как следствие, взаимоисключающие события обладают следующим свойством:
Например, в стандартной колоде из 52 карт с двумя цветами невозможно вытянуть карту, которая одновременно красная и трефовая, поскольку трефы всегда черные. Если из колоды вытянуть только одну карту, будет вытянута либо красная карта (черва или бубна), либо черная карта (трефа или пика). Когда A и B являются взаимоисключающими, P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Чтобы найти вероятность вытянуть красную карту или трефу, например, нужно сложить вероятность вытянуть красную карту и вероятность вытянуть трефу. В стандартной колоде из 52 карт двадцать шесть красных карт и тринадцать треф: 26/52 + 13/52 = 39/52 или 3/4. Чтобы вытянуть и красную карту, и трефу, необходимо вытянуть как минимум две карты. Вероятность этого в двух вытягиваниях зависит от того, была ли первая вытянутая карта возвращена в колоду перед вторым вытягиванием, поскольку без возвращения после первого вытягивания остается на одну карту меньше. Вероятности отдельных событий (красная и трефа) перемножаются, а не складываются. Вероятность вытянуть красную карту и трефу в двух вытягиваниях без возвращения равна 26/52 × 13/51 × 2 = 676/2652, или 13/51. При возвращении карты вероятность будет равна 26/52 × 13/52 × 2 = 676/2704, или 13/52. В теории вероятностей слово «или» допускает возможность наступления обоих событий. Вероятность наступления одного или обоих событий обозначается P(A ∪ B) и в общем случае равна P(A) + P(B) – P(A ∩ B). Например, теоретически существует только две возможности при подбрасывании монеты: выпадение орла и выпадение решки. Эти события являются совместно исчерпывающими, и вероятность выпадения либо орла, либо решки равна единице. События могут быть одновременно взаимоисключающими и совместно исчерпывающими.

In probability theory, events E1, E2, , En are said to be mutually exclusive if the occurrence of any one of them implies the non occurrence of the remaining n − 1 events. Therefore, two mutually exclusive events cannot both occur. Formally said, is a set of mutually exclusive events if and only if given any , if then As a consequence, mutually exclusive events have the property:
For example, in a standard 52 card deck with two colors it is impossible to draw a card that is both red and a club because clubs are always black. If just one card is drawn from the deck, either a red card (heart or diamond) or a black card (club or spade) will be drawn. When A and B are mutually exclusive, 1=P(A ∪ B) = P(A) + P(B). To find the probability of drawing a red card or a club, for example, add together the probability of drawing a red card and the probability of drawing a club. In a standard 52 card deck, there are twenty six red cards and thirteen clubs: 26/52 + 13/52 = 39/52 or 3/4. One would have to draw at least two cards in order to draw both a red card and a club. The probability of doing so in two draws depends on whether the first card drawn was replaced before the second drawing since without replacement there is one fewer card after the first card was drawn. The probabilities of the individual events (red, and club) are multiplied rather than added. The probability of drawing a red and a club in two drawings without replacement is then 1=26/52 × 13/51 × 2 = 676/2652, or 13/51. With replacement, the probability would be 1=26/52 × 13/52 × 2 = 676/2704, or 13/52. In probability theory, the word or allows for the possibility of both events happening. The probability of one or both events occurring is denoted P(A ∪ B) and in general, it equals P(A) + P(B) – P(A ∩ B). For example, there are theoretically only two possibilities for flipping a coin. Flipping a head and flipping a tail are collectively exhaustive events, and there is a probability of one of flipping either a head or a tail. Events can be both mutually exclusive and collectively exhaustive.

Статистика

В статистике и регрессионном анализе независимая переменная, которая может принимать только два возможных значения, называется индикаторной переменной (или манекеном). Например, она может принимать значение 0, если наблюдение относится к представителю европеоидной расы, или 1, если наблюдение относится к представителю негроидной расы. Две возможные категории, связанные с этими значениями, взаимоисключающие, то есть ни одно наблюдение не может одновременно относиться к более чем одной категории, и совместно исчерпывающие, то есть каждое наблюдение относится к какой-либо одной из этих категорий. Иногда существует три или более возможных категорий, которые являются попарно взаимоисключающими и совместно исчерпывающими — например, младше 18 лет, от 18 до 64 лет и 65 лет и старше. В этом случае создается набор индикаторных переменных, каждая из которых имеет две взаимоисключающие и совместно исчерпывающие категории. В этом примере одна индикаторная переменная (обозначим ее D1) будет равна 1, если возраст меньше 18 лет, и 0 в противном случае; вторая индикаторная переменная (обозначим ее D2) будет равна 1, если возраст находится в диапазоне от 18 до 64 лет, и 0 в противном случае. В такой конфигурации пара индикаторных переменных (D1, D2) может принимать значения (1,0) (младше 18 лет), (0,1) (от 18 до 64 лет) или (0,0) (65 лет и старше), но не (1,1), что абсурдно, поскольку означало бы, что наблюдаемый субъект одновременно младше 18 лет и находится в диапазоне от 18 до 64 лет. Затем индикаторные переменные могут быть включены в качестве независимых (объясняющих) переменных в регрессионную модель. Количество индикаторных переменных всегда на единицу меньше, чем количество категорий: для двух категорий (например, европеоидная и негроидная расы) требуется одна индикаторная переменная для их различения, а для трех возрастных категорий — две. Такие качественные данные также могут использоваться для зависимых переменных. Например, исследователь может захотеть предсказать, будет ли человек арестован или нет, используя семейный доход или расу в качестве объясняющих переменных. В этом случае переменная, которую необходимо объяснить, является индикаторной: она равна 0, если наблюдаемый субъект не арестован, и 1, если арестован. В такой ситуации метод наименьших квадратов (базовый метод регрессии) обычно считается недостаточным; вместо него применяют пробит-регрессию или логит-регрессию. Кроме того, иногда зависимая переменная может принимать три или более значений — например, отсутствие обвинений, предъявление обвинений и назначение смертной казни. В этом случае используются методы многомерной пробит-регрессии или логит-регрессии.

In statistics and regression analysis, an independent variable that can take on only two possible values is called a dummy variable. For example, it may take on the value 0 if an observation is of a white subject or 1 if the observation is of a black subject. The two possible categories associated with the two possible values are mutually exclusive, so that no observation falls into more than one category, and the categories are exhaustive, so that every observation falls into some category. Sometimes there are three or more possible categories, which are pairwise mutually exclusive and are collectively exhaustive — for example, under 18 years of age, 18 to 64 years of age, and age 65 or above. In this case a set of dummy variables is constructed, each dummy variable having two mutually exclusive and jointly exhaustive categories — in this example, one dummy variable (called D1) would equal 1 if age is less than 18, and would equal 0 otherwise; a second dummy variable (called D2) would equal 1 if age is in the range 18–64, and 0 otherwise. In this set up, the dummy variable pairs (D1, D2) can have the values (1,0) (under 18), (0,1) (between 18 and 64), or (0,0) (65 or older) (but not (1,1), which would nonsensically imply that an observed subject is both under 18 and between 18 and 64). Then the dummy variables can be included as independent (explanatory) variables in a regression. The number of dummy variables is always one less than the number of categories: with the two categories black and white there is a single dummy variable to distinguish them, while with the three age categories two dummy variables are needed to distinguish them. Such qualitative data can also be used for dependent variables. For example, a researcher might want to predict whether someone gets arrested or not, using family income or race, as explanatory variables. Here the variable to be explained is a dummy variable that equals 0 if the observed subject does not get arrested and equals 1 if the subject does get arrested. In such a situation, ordinary least squares (the basic regression technique) is widely seen as inadequate; instead probit regression or logistic regression is used. Further, sometimes there are three or more categories for the dependent variable — for example, no charges, charges, and death sentences. In this case, the multinomial probit or multinomial logit technique is used.