Введение

Физическая величина с размерностью энергия × время, характеризующая траекторию.

В физике действие — это скалярная величина, описывающая, как изменяется баланс кинетической и потенциальной энергии физической системы вдоль траектории. Действие существенно, поскольку является аргументом принципа стационарного действия — подхода к классической механике, упрощающего рассмотрение систем, состоящих из множества объектов. Действие и вариационный принцип используются в квантовой механике Фейнмана и в общей теории относительности. Для систем с малыми значениями действия, сравнимыми с постоянной Планка, квантовые эффекты становятся значимыми. Действие имеет размерность энергия × время или импульс × длина, а его единица измерения в системе СИ — джоуль-секунда (как и постоянная Планка h).

Введение

Вводная физика часто начинается с законов движения Ньютона, связывающих силу и движение; действие является частью полностью эквивалентного альтернативного подхода, обладающего практическими и образовательными преимуществами. Действие уравновешивает кинетическую и потенциальную энергии. Как и действие, эта константа имеет размерность энергии, умноженной на время. Она фигурирует во всех значимых квантовых уравнениях, таких как принцип неопределенности и длина волны де Бройля. Когда значение действия приближается к постоянной Планка, квантовые эффекты становятся существенными. Энергия световых квантов, , увеличивается с частотой , но произведение энергии и времени для колебания световой волны – действие кванта – является постоянной величиной.

История

Пьер Луи Мопертюи и Леонард Эйлер, работавшие в 1740-х годах, разработали ранние версии принципа наименьшего действия. Жозеф Луи Лагранж уточнил математический аппарат, изобретя вариационное исчисление. Уильям Роуэн Гамильтон совершил следующий значительный прорыв, сформулировав принцип Гамильтона в 1853 году. Принцип Гамильтона стал основополагающим для классических исследований различных форм действия, пока Ричард Фейнман и Джулиан Швингер не разработали квантовые принципы действия.

Определения

Выражаясь математическим языком, используя вариационное исчисление, эволюция физической системы (то есть, то, как система фактически переходит из одного состояния в другое) соответствует стационарной точке (обычно, минимуму) действия. Действие имеет размерность [энергия] × [время], а его единица СИ – джоуль-секунда, что идентично единице углового момента. В физике используется несколько различных определений "действия". Действие обычно является интегралом по времени. Однако, когда действие относится к полям, оно может быть проинтегрировано и по пространственным переменным. В некоторых случаях действие интегрируется вдоль траектории, по которой движется физическая система. Действие обычно представляется в виде интеграла по времени, взятого вдоль траектории системы между начальным и конечным моментами времени её развития: в классической механике входной функцией является эволюция q(t) системы между двумя моментами времени t1 и t2, где q обозначает обобщённые координаты. Действие определяется как интеграл лагранжиана L по заданной эволюции между двумя моментами времени: где конечные точки эволюции фиксированы и определены как и Согласно принципу Гамильтона, истинная эволюция qtrue(t) – это эволюция, для которой действие стационарно (является минимумом, максимумом или седловой точкой). Этот принцип приводит к уравнениям движения в лагранжевой механике.

Принципы действий и связанные с ними идеи

Физические законы часто выражаются в виде дифференциальных уравнений, описывающих, как физические величины, такие как положение и импульс, непрерывно изменяются во времени, пространстве или их обобщениях. При заданных начальных и граничных условиях "решением" этих эмпирических уравнений является одна или несколько функций, описывающих поведение системы и называемых уравнениями движения. Действие – это часть альтернативного подхода к нахождению таких уравнений движения. Классическая механика постулирует, что физическая система фактически движется по траектории, для которой действие минимизировано или, в более общем случае, стационарно. Иными словами, действие удовлетворяет вариационному принципу, известному как принцип стационарного действия (см. также ниже). Действие определяется интегралом, и классические уравнения движения системы могут быть получены путем минимизации значения этого интеграла. Принцип действия предоставляет глубокое понимание физики и является важной концепцией в современной теоретической физике. Различные принципы действия и связанные с ними понятия обобщены ниже.

Принцип Мопертуа

В классической механике принцип Мопертюи (названный в честь Пьера Луи Мопертюи) утверждает, что физическая система движется по пути, требующему наименьшего действия (при соответствующей интерпретации понятия пути и действия). Принцип Мопертюи использует сокращённое действие между двумя обобщёнными точками траектории.

Основная функция Гамильтона

Принцип Гамильтона утверждает, что дифференциальные уравнения движения для любой физической системы могут быть переформулированы в виде эквивалентного интегрального уравнения. Таким образом, существует два различных подхода к построению динамических моделей. Принцип Гамильтона применим не только к классической механике одной частицы, но и к классическим полям, таким как электромагнитное и гравитационное поля. Принцип Гамильтона также был расширен на квантовую механику и квантовую теорию поля — в частности, интегральное представление квантовой механики использует эту концепцию, где физическая система исследует все возможные траектории, при этом фаза амплитуды вероятности для каждой траектории определяется действием, соответствующим этой траектории; итоговая амплитуда вероятности суммирует вклады от всех траекторий, используя их комплексную амплитуду и фазу.

Уравнение Гамильтона и Джейкоби

Основная функция Гамильтона выводится из функционала действия путем фиксации начального времени и начальной точки, при этом верхний предел времени и конечная точка варьируются. Основная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби, являющемуся формулировкой классической механики. Благодаря сходству с уравнением Шрёдингера, уравнение Гамильтона — Якоби обеспечивает, пожалуй, наиболее прямую связь с квантовой механикой.

Уравнения Эйлера Лагранжа

В лагранжевой механике требование стационарности интеграла действия при малых возмущениях эквивалентно набору дифференциальных уравнений (известных как уравнения Эйлера — Лагранжа), которые можно получить с помощью вариационного исчисления.

Классические области

Принцип действия может быть расширен для получения уравнений движения полей, таких как электромагнитное или гравитационное поле. Уравнения Максвелла могут быть выведены как условия стационарности действия. Уравнение Эйнштейна использует действие Эйнштейна — Гильберта, ограниченное вариационным принципом. Траектория (путь в пространстве-времени) тела в гравитационном поле может быть найдена с помощью принципа действия. Для свободно падающего тела эта траектория является геодезической.

Законы охраны

Влияние симметрий в физической системе можно установить, используя принцип действия вместе с уравнениями Эйлера — Лагранжа, которые выводятся из этого принципа. Примером является теорема Нётер, утверждающая, что каждой непрерывной симметрии в физической системе соответствует закон сохранения (и наоборот). Эта глубокая взаимосвязь требует постулирования принципа действия.

Формулирование интеграла пути квантовой теории поля

В квантовой механике система не следует по единственному пути, для которого действие стационарно, а поведение системы зависит от всех допустимых путей и величины их действия. Действие, соответствующее различным путям, используется для вычисления интеграла по траекториям, который определяет амплитуды вероятностей различных исходов. Хотя в классической механике он эквивалентен законам Ньютона, принцип действия лучше подходит для обобщений и играет важную роль в современной физике. Фактически, этот принцип является одним из величайших обобщений в физической науке. Он наиболее полно раскрывается в квантовой механике, особенно в интегральном представлении Ричарда Фейнмана, где он возникает в результате деструктивной интерференции квантовых амплитуд.

Современные расширения

Принцип действия можно обобщить ещё дальше. Например, действие не обязательно должно представлять собой интеграл, поскольку возможны нелокальные действия. Конфигурационное пространство даже не обязано быть функциональным, учитывая некоторые особенности, такие как некомутативная геометрия. Однако экспериментальная проверка физических основ этих математических обобщений ещё предстоит.