Введение

Основополагающий принцип квантовой физики

Принцип неопределенности, также известный как принцип неопределенности Гейзенберга, является фундаментальной концепцией квантовой механики. Он утверждает, что существует предел точности, с которой одновременно можно определить определенные пары физических свойств, таких как положение и импульс. Иными словами, чем точнее измерено одно свойство, тем менее точно можно определить другое. Более формально, принцип неопределенности – это любое из множества математических неравенств, устанавливающих фундаментальное ограничение для произведения точностей определенных связанных пар измерений на квантовой системе, таких как положение, x, и импульс, p. Такие парные переменные известны как дополнительные переменные или канонически сопряженные переменные. Впервые введенный в 1927 году немецким физиком Вернером Гейзенбергом, формальное неравенство, связывающее стандартное отклонение положения σx и стандартное отклонение импульса σp, было выведено Эрлом Гессе Кеннардом позднее в том же году и Германном Вейлем в 1928 году:

где ħ – приведённая постоянная Планка. Принцип неопределенности, являющийся квинтэссенцией квантовой механики, имеет множество форм, помимо соотношения между положением и импульсом. Соотношение «энергия – время» широко используется для связи времени жизни квантового состояния с измеренными энергетическими ширинами, однако его формальное выведение сопряжено со сложными вопросами о природе времени. Основной принцип был расширен в различных направлениях и должен учитываться при многих видах фундаментальных физических измерений.

Позиция-момент

Очень важно проиллюстрировать, как принцип применим к относительно понятным физическим ситуациям, поскольку он неразличим в макроскопических масштабах, воспринимаемых человеком. Две альтернативные структуры квантовой физики предлагают различные объяснения принципа неопределенности. Представление волновой механики принципа неопределенности более наглядно, но более абстрактное представление матричной механики формулирует его таким образом, что его легче обобщить. Математически, в волновой механике, соотношение неопределенности между положением и импульсом возникает из-за того, что выражения волновой функции в двух соответствующих ортонормальных базисах в гильбертовом пространстве являются преобразованиями Фурье друг друга (то есть положение и импульс – сопряженные переменные). Неравная нулю функция и ее преобразование Фурье не могут быть одновременно четко локализованы. Аналогичный компромисс между дисперсиями сопряженных по Фурье величин возникает во всех системах, основанных на анализе Фурье, например, в звуковых волнах: чистый тон – это резкий пик на одной частоте, а его преобразование Фурье дает форму звуковой волны во временной области, которая является полностью делокализованной синусоидой. В квантовой механике два ключевых момента заключаются в том, что положение частицы принимает форму материи волны, а импульс является ее сопряженным по Фурье, что обеспечивается соотношением де Бройля, где k – волновое число. В матричной механике, математической формулировке квантовой механики, любая пара некоммутирующих самосопряженных операторов, представляющих наблюдаемые, подчиняется аналогичным ограничениям неопределенности. Собственное состояние наблюдаемой представляет собой состояние волновой функции для определенного значения измерения (собственное значение). Например, если выполнено измерение наблюдаемой A, то система находится в определенном собственном состоянии Ψ этой наблюдаемой. Однако, конкретное собственное состояние наблюдаемой A не обязательно является собственным состоянием другой наблюдаемой B: если это так, то у него нет однозначно связанного измерения, поскольку система не находится в собственном состоянии этой наблюдаемой.

Визуализация

Принцип неопределенности можно визуализировать, используя волновые функции положения и импульса для одной безспиновой частицы с массой в одном измерении. Чем более локализована волновая функция в пространстве положений, тем выше вероятность обнаружить частицу с координатами положения в этой области, и, соответственно, волновая функция в пространстве импульсов менее локализована, что означает, что возможные компоненты импульса частицы более широко распределены. И наоборот, чем более локализована волновая функция в пространстве импульсов, тем выше вероятность обнаружить частицу с этими значениями компонентов импульса в этой области, и, соответственно, тем менее локализована волновая функция в пространстве положений, что означает, что координаты положения, которые может занимать частица, более широко распределены. Эти волновые функции являются преобразованиями Фурье друг друга: математически принцип неопределенности выражает связь между сопряженными переменными в этом преобразовании.

Смешанные государства

Отношение неопределенности Робертсона — Шрёдингера может быть прямо обобщено для описания смешанных состояний.

Граница Гейзенберга

В квантовой метрологии, и особенно в интерферометрии, предел Гейзенберга определяет оптимальную скорость, с которой точность измерения может масштабироваться с энергией, затраченной на измерение. Как правило, речь идет об измерении фазы (приложенной к одному плечу интерферометра), а энергия определяется количеством фотонов, используемых в интерферометре. Несмотря на заявления о преодолении предела Гейзенберга, это связано с разногласиями в определении масштабируемого ресурса. При корректном определении предел Гейзенберга является следствием фундаментальных принципов квантовой механики и не может быть нарушен, хотя слабое ограничение Гейзенберга может быть преодолено.

Систематические и статистические ошибки

Вышеуказанные неравенства фокусируются на статистической неточности измеряемых величин, выраженной через стандартное отклонение. Однако, оригинальная версия Гейзенберга рассматривала систематическую ошибку – возмущение квантовой системы, вызванное измерительным аппаратом, то есть эффект наблюдателя. Если обозначить ошибку (неточность) измерения измеряемой величины A как , а возмущение, вносимое последующим измерением сопряженной переменной B предыдущим измерением A, как , то неравенство, предложенное Озавой – охватывающее как систематические, так и статистические ошибки – выполняется: Кроме того, важно подчеркнуть, что формулировка Гейзенберга не учитывает присущие статистические ошибки и . Растет количество экспериментальных данных, свидетельствующих о том, что общая квантовая неопределенность не может быть описана только членом Гейзенберга, а требует учета всех трех членов неравенства Озавы. Используя тот же формализм, можно рассмотреть нечеткие или слабые измерения. Также возможно вывести соотношение неопределенности, которое, подобно неравенству Озавы, объединяет статистические и систематические компоненты ошибки, но сохраняет форму, близкую к исходному неравенству Гейзенберга. Робертсон, в свою очередь, установил соотношение неопределенности, аналогичное оригинальному неравенству Гейзенберга, но справедливое как для систематических, так и для статистических ошибок:

Обработка сигналов

В контексте обработки сигналов, и в частности анализа времени-частоты, принципы неопределенности называются пределом Габора, в честь Денниса Габора, или иногда пределом Гейзенберга-Габора. Основной результат, вытекающий из "теоремы Бенедикса", заключается в том, что функция не может быть одновременно ограничена во времени и по полосе пропускания (функция и ее преобразование Фурье не могут иметь оба ограниченных домена) – см. bandlimited versus timelimited. Более точно, произведение временной и частотной ширины или произведение длительности и полосы пропускания удовлетворяет соотношению

где и – стандартные отклонения временной и частотной энергии или мощности (то есть квадрата) представлений соответственно. Минимальное значение достигается для импульса гауссовой формы (волнового пакета Габора) [Для неквадратичной гауссианы (то есть амплитуды сигнала) и ее неквадратичной величины преобразования Фурье; возведение в квадрат уменьшает каждый из этих параметров в раз]. Другой распространенной мерой является произведение временной и частотной ширины на полувысоте (мощности/энергии), которое для гауссианы равно (см. импульс с ограниченной полосой пропускания). Иными словами, "невозможно одновременно точно локализовать сигнал (функцию f) как во временной, так и в частотной областях (ƒ̂, его преобразование Фурье)". Применительно к фильтрам, это означает, что нельзя одновременно достичь высокого временного и частотного разрешения; конкретным примером являются проблемы разрешения при использовании кратковременного преобразования Фурье: использование широкого окна обеспечивает хорошее частотное разрешение за счет временного разрешения, а узкое окно – наоборот. Другие теоремы дают более точные количественные результаты, и в анализе времени-частоты, вместо раздельной интерпретации одномерных временной и частотной областей, предел рассматривается как нижняя граница области поддержки функции в двумерной плоскости времени-частоты. На практике предел Габора ограничивает одновременное временное и частотное разрешение, которое можно достичь без интерференции; более высокое разрешение возможно, но за счет взаимного влияния различных компонентов сигнала. Поэтому для анализа сигналов, в которых важны переходные процессы, часто используется вейвлет-преобразование вместо преобразования Фурье.

Теорема Бенедикса

Теорема Амрейна–Бертье и Бенедикса интуитивно утверждает, что множество точек, где f отлично от нуля, и множество точек, где ƒ̂ отлично от нуля, не могут быть одновременно малы. В частности, невозможно, чтобы функция f из L²(ℝ) и её преобразование Фурье ƒ̂ имели носители на множествах конечной меры Лебега. Более количественная формулировка такова:

Ожидается, что фактор может быть заменен на , что известно лишь в случае, если S или Σ выпуклы.

Микроскоп Гейзенберга

Принцип довольно контринтуитивен, поэтому первых студентов квантовой теории необходимо было убедить, что наивные измерения, стремящиеся его нарушить, всегда будут неработоспособными. Один из способов, которым Гейзенберг изначально проиллюстрировал принципиальную невозможность нарушения принципа неопределенности, – использование эффекта наблюдателя воображаемого микроскопа в качестве измерительного прибора. Проблема 1 – Если у фотона короткая длина волны, а следовательно, большой импульс, положение можно измерить точно. Но фотон рассеивается в случайном направлении, передавая электрону большое и неопределенное количество импульса. Если у фотона длинная длина волны и малый импульс, столкновение не сильно возмущает импульс электрона, но рассеяние позволяет определить его положение лишь приблизительно. Проблема 2 – Если для микроскопа используется большая апертура, положение электрона можно определить с высокой точностью (см. критерий Рэлея); однако, в соответствии с законом сохранения импульса, поперечный импульс входящего фотона влияет на импульс пучка электронов, и, следовательно, новый импульс электрона определяется плохо. Если используется небольшая апертура, точность определения обоих параметров меняется местами. Комбинация этих компромиссов означает, что независимо от используемой длины волны фотона и размера апертуры, произведение неопределенностей в измеренном положении и измеренном импульсе всегда больше или равно нижнему пределу, который (с точностью до небольшого числового множителя) равен постоянной Планка. Гейзенберг не стремился сформулировать принцип неопределенности как точный предел, а предпочитал использовать его как эвристическое количественное утверждение, верное с точностью до небольших численных множителей, что делает радикально новую некоммутативность квантовой механики неизбежной.

Критические реакции

Копенгагенская интерпретация квантовой механики и принцип неопределенности Гейзенберга изначально воспринимались критиками как две взаимосвязанные мишени. Согласно Копенгагенской интерпретации квантовой механики, квантовое состояние не описывает какую-либо фундаментальную реальность, а является лишь предписанием для вычисления результатов экспериментов. Невозможно определить, каково истинное состояние системы, можно лишь предсказать возможные результаты наблюдений. Альберт Эйнштейн полагал, что случайность – это отражение нашего незнания некоторых фундаментальных свойств реальности, тогда как Нильс Бор считал, что вероятностные распределения являются фундаментальными и не поддаются дальнейшему упрощению, и зависят от того, какие измерения мы выбираем проводить. Эйнштейн и Бор на протяжении многих лет вели дебаты о принципе неопределенности.

Коробка Эйнштейна

Бор присутствовал, когда Эйнштейн предложил мысленный эксперимент, который стал известен как «ящик Эйнштейна». Эйнштейн утверждал, что «уравнение неопределенности Гейзенберга подразумевает связь между неопределенностью во времени и неопределенностью в энергии, причем их произведение связано с постоянной Планка». Он предложил рассмотреть идеальный ящик, выложенный зеркалами, чтобы свет мог в нем содержаться неограниченно долго. Ящик можно было взвесить до того, как часовой механизм откроет идеальную шторку в выбранный момент, позволяя одному единственному фотону вырваться. «Теперь мы точно знаем, – объяснил Эйнштейн, – момент, когда фотон покинул ящик». «Взвесьте ящик снова. Изменение массы укажет на энергию излученного света. Таким образом, – сказал Эйнштейн, – можно было бы измерить энергию излучения и время его высвобождения с любой желаемой точностью, что противоречит принципу неопределенности» из-за собственной теории Эйнштейна о влиянии гравитации на время. «Через эту цепочку неопределенностей Бор показал, что эксперимент Эйнштейна со световым ящиком не позволяет одновременно точно измерить энергию фотона и момент его выхода».

Парадокс EPR для запутанных частиц

В 1935 году Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен опубликовали анализ пространственно разделенных запутанных частиц (EPR-парадокс). Согласно EPR, можно измерить положение одной из запутанных частиц и импульс другой, и на основании этих измерений определить положение и импульс обеих частиц с любой степенью точности, что противоречит принципу неопределенности. Чтобы избежать такой возможности, измерение одной частицы должно мгновенно изменять вероятностное распределение другой частицы, потенциально нарушая принцип локальности. В 1964 году Джон Стюарт Белл показал, что это предположение можно опровергнуть, поскольку оно влечет за собой определенное неравенство между вероятностями различных экспериментов. Экспериментальные результаты подтверждают предсказания квантовой механики, опровергая фундаментальное предположение EPR о существовании локальных скрытых переменных.

Свободная воля

Некоторые ученые, включая Артура Комптона и Мартина Гейзенберга, предположили, что принцип неопределенности, или, по крайней мере, общая вероятностная природа квантовой механики, может служить свидетельством двухэтапной модели свободы воли. Однако один из аргументов против заключается в том, что за исключением фундаментальной роли квантовой механики как основы химии, маловероятно существование нетривиальных биологических механизмов, требующих квантовых эффектов, из-за быстрого времени декогеренции квантовых систем при комнатной температуре. Сторонники этой теории обычно утверждают, что эта декогеренция преодолевается как экранированием, так и существованием подпространств, свободных от декогеренции, в биологических клетках. См. парадокс Гиббса.

Отклонение принципа

Принципы неопределенности связывают квантовые частицы, например электроны, с классическими понятиями – положением и импульсом. Это подразумевает, что квантовые частицы обладают положением и импульсом. Эдвин К. Кембл указал в 1937 году, что такие свойства невозможно экспериментально подтвердить, а допущение их существования приводит ко множеству противоречий; схожим образом Рудольф Хааг отмечает, что положение в квантовой механике является характеристикой взаимодействия, например, между электроном и детектором, а не внутренним свойством частицы. С этой точки зрения принцип неопределенности – это не фундаментальное квантовое свойство, а концепция, "унаследованная из языка наших предков", как выразился Кембл.

Приложения

Поскольку принцип неопределенности является фундаментальным результатом в квантовой механике, типичные эксперименты в этой области регулярно демонстрируют его проявления. Все формы спектроскопии, включая физику частиц, используют эту зависимость для установления связи между измеренной шириной спектральной линии и временем жизни квантовых состояний. Однако некоторые эксперименты специально направлены на проверку конкретной формы принципа неопределенности как части своей основной исследовательской программы. К ним относятся, например, тесты соотношений неопределенностей числа и фазы в сверхпроводящих или квантово-оптических системах. Области применения, функционирование которых основано на принципе неопределенности, включают в себя технологии с крайне низким уровнем шума, такие как те, что необходимы в гравитационно-волновых интерферометрах.