Шкала Болена — Пирса: Альтернативная музыкальная система
Bohlen–Pierce scale
Музыкальная шкала Bohlen-Pierce: альтернатива октавной системе. Основана на интервале 3:1 (тритаве), делит его на 13 шагов. Гармоничные интервалы, настройка.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Шкала Болен-Пирса (англ. Bohlen-Pierce scale, BP scale) — музыкальная шкала, впервые описанная в 1970-х годах, предлагающая альтернативу октавным повторяющимся шкалам, типичным для западной и других музыкальных культур, в частности, равнотемпературной диатонической шкале. Интервал 3:1 (часто называемый новым термином — тритава) служит фундаментальным гармоническим соотношением, заменяя диатоническую шкалу 2:1 (октаву) на совершенную двенадцатую (на октаву выше совершенной пятой). Для любой высоты, входящей в шкалу BP, все высоты на одну или несколько тритав выше или ниже также являются частью системы и считаются эквивалентными. Шкала BP делит тритаву на 13 ступеней, либо с равным темпераментом (наиболее распространенная форма), либо в точно настроенной версии. По сравнению с октавно-повторяющимися шкалами, интервалы шкалы BP лучше согласуются с определенными типами акустических спектров. Шкала была независимо описана Хайнцем Боленом, Кисом ван Проойеном и Джоном Р. Пирсом. Пирс, который вместе с Максом Мэтьюсом и другими опубликовал свое открытие в 1984 году, переименовал шкалу Пирса 3579b и ее хроматический вариант в шкалу Болен-Пирса, узнав о более ранней публикации Болена. Болен предложил ту же шкалу, основываясь на рассмотрении влияния комбинационных тонов на гештальт-восприятие интервалов и аккордов. Интервалы между классами высоты в шкале BP основаны на нечетных целочисленных частотных соотношениях, в отличие от интервалов в диатонических шкалах, которые используют как нечетные, так и четные соотношения, встречающиеся в гармоническом ряду. В частности, ступени шкалы BP основаны на соотношениях целых чисел, множителями которых являются 3, 5 и 7. Таким образом, шкала содержит консонирующие гармонии, основанные на нечетных гармонических обертонах 3:5:7:9. Аккорд, образованный соотношением 3:5:7, выполняет ту же функцию, что и аккорд 4:5:6 (мажорная триада) в диатонических шкалах (3:5:7 = 1::, а 4:5:6 = 2::3 = 1::).
The Bohlen–Pierce scale (BP scale) is a musical tuning and scale, first described in the 1970s, that offers an alternative to the octave repeating scales typical in Western and other musics, specifically the equal tempered diatonic scale. The interval 3:1 (often called by a new name, tritave) serves as the fundamental harmonic ratio, replacing the diatonic scale's 2:1 (the octave) with a perfect twelfth (an octave higher than a perfect fifth). For any pitch that is part of the BP scale, all pitches one or more tritaves higher or lower are part of the system as well, and are considered equivalent. The BP scale divides the tritave into 13 steps, either equal tempered (the most popular form), or in a justly tuned version. Compared with octave repeating scales, the BP scale's intervals are more consonant with certain types of acoustic spectra. The scale was independently described by Heinz Bohlen, Kees van Prooijen and John R. Pierce. Pierce, who, with Max Mathews and others, published his discovery in 1984, renamed the Pierce 3579b scale and its chromatic variant the Bohlen–Pierce scale after learning of Bohlen's earlier publication. Bohlen had proposed the same scale based on consideration of the influence of combination tones on the Gestalt impression of intervals and chords. The intervals between BP scale pitch classes are based on odd integer frequency ratios, in contrast with the intervals in diatonic scales, which employ both odd and even ratios found in the harmonic series. Specifically, the BP scale steps are based on ratios of integers whose factors are 3, 5, and 7. Thus the scale contains consonant harmonies based on the odd harmonic overtones 3:5:7:9 The chord formed by the ratio 3:5:7 serves much the same role as the 4:5:6 chord (a major triad ) does in diatonic scales (3:5:7 = 1:: and 4:5:6 = 2::3 = 1::).
Болен Пирс темперамент
[[Изображение:Хроматический круг Болен-Пирса.png|thumb|"Хроматический круг" для шкалы Болен-Пирса, с отмеченной третьей модой шкалы Lambda. Степень VII ошибочно обозначена дважды. Мэтьюс и Пирс пришли к выводу, что в шкале БП можно сочинять чёткие и запоминающиеся мелодии, что "контрапункт звучит приемлемо", и что "аккордовые пассажи воспринимаются как гармония", подразумевая, вероятно, последовательность аккордов, "но без значительного напряжения или ощущения разрешения". В их исследовании 1989 года, посвящённом оценке консонанса, интервалы пяти аккордов, признанных наиболее консонантными обученными музыкантами, приблизительно соответствуют диатоническим интервалам, что позволяет предположить, что их подготовка повлияла на их выбор, и аналогичный опыт работы со шкалой БП также повлиял бы на их предпочтения. Среди других композиторов, использовавших шкалу БП, – Джон Эпплтон, Ричард Буланже ("Solemn Song for Evening", 1990), Георг Хаджу, Хуан Рейес (ppP, 1999–2000), Ами Радунская ("Дикое и безрассудное место", 1990), Чарльз Карпентер ("Frog à la Pêche", 1994, & Splat) и Элейн Уокер ("Stick Men", 1991, "Love Song" и "Greater Good", 2011). Дэвид Либерман, доцент архитектуры в Университете Торонто, руководил разработкой струнного инструмента "Stredici", настроенного на шкалу Болен-Пирса. Пятиметровый инструмент был использован на концертах в Бостоне в 2012 году.
[[Image:Bohlen Pierce chromatic circle. png|thumb|"Chromatic circle" for the Bohlen–Pierce scale, with the third mode of the Lambda scale marked. The VII degree is mistakenly marked twice. Mathews and Pierce conclude that clear and memorable melodies may be composed in the BP scale, that "counterpoint sounds all right", and that "chordal passages sound like harmony", presumably meaning progression, "but without any great tension or sense of resolution". In their 1989 study of consonance judgment, both intervals of the five chords rated most consonant by trained musicians are approximately diatonic intervals, suggesting that their training influenced their selection and that similar experience with the BP scale would similarly influence their choices. Other computer composers to use the BP scale include Jon Appleton, Richard Boulanger (Solemn Song for Evening (1990)), Georg Hajdu, Juan Reyes' ppP (1999 2000), Ami Radunskaya's "A Wild and Reckless Place" (1990), Charles Carpenter (Frog à la Pêche (1994) & Splat), and Elaine Walker (Stick Men (1991), Love Song, and Greater Good (2011)). David Lieberman, an associate professor of architecture at the University of Toronto, directed the development of a "Stredici", a string instrument tuned to the Bohlen–Pierce scale. The five meter long instrument was used in concerts in Boston in 2012.
Симпозиум
Первый симпозиум Болен–Пирса состоялся в Бостоне 7–9 марта 2010 года и был организован композитором Георгом Хаджу (Hochschule für Musik und Theater Hamburg) и Бостонским микротональным обществом. Соорганизаторами выступили Бостонский институт Гёте, музыкальный колледж Беркли, Северо-Восточный университет и Нованглийская консерватория музыки. Участники симпозиума, включая Хайнца Болена, Макса Мэтьюза, Кларенса Барлоу, Кертиса Роудса, Дэвида Весселя, Психе Луи, Ричарда Буланже, Георга Хаджу, Пола Эрлиха, Рона Сворда, Джулию Вернц, Ларри Полански, Манфреда Станке, Стивена Фокса, Элейн Уокер, Тодда Харропа, Гейл Янг, Йоханнеса Креца, Артуро Гролимунда, Кевина Фостера, представили 20 докладов об истории и свойствах шкалы Болен–Пирса, исполнили более 40 композиций в этой новой системе и продемонстрировали несколько новых музыкальных инструментов. Среди исполнителей были немецкие музыканты Нора Луиза Мюллер и Акош Хоффман, игравшие на кларнетах Болен–Пирса, и Артуро Гролимунд на пан-флейте Болен–Пирса, а также канадский ансамбль tranSpectra и американская ксенармоническая группа ZIA под руководством Элейн Уокер.
A first Bohlen–Pierce symposium took place in Boston on March 7 to 9, 2010, produced by composer Georg Hajdu (Hochschule für Musik und Theater Hamburg) and the Boston Microtonal Society. Co organizers were the Boston Goethe Institute, the Berklee College of Music, the Northeastern University and the New England Conservatory of Music. The symposium participants, which included Heinz Bohlen, Max Mathews, Clarence Barlow, Curtis Roads, David Wessel, Psyche Loui, Richard Boulanger, Georg Hajdu, Paul Erlich, Ron Sword, Julia Werntz, Larry Polansky, Manfred Stahnke, Stephen Fox, Elaine Walker, Todd Harrop, Gayle Young, Johannes Kretz, Arturo Grolimund, Kevin Foster, presented 20 papers on history and properties of the Bohlen–Pierce scale, performed more than 40 compositions in the novel system and introduced several new musical instruments. Performers included German musicians Nora Louise Müller and Ákos Hoffman on Bohlen–Pierce clarinets and Arturo Grolimund on Bohlen–Pierce pan flute as well as Canadian ensemble tranSpectra, and US American xenharmonic band ZIA, led by Elaine Walker.
Другие необычные настройки или шкала
Другие неоктавные строи, исследованные Боленом, включают двенадцать шагов в тритаве, названные A12 Энрике Морено и основанные на аккорде 4:7:10, семь шагов в октаве (7-тет) или аналогичные 11 шагов в тритаве, и восемь шагов в октаве, основанные на 5:7:9, причём будет использоваться только справедливая версия. Кроме того, пентаву можно разделить на восемь ступеней, что приближает аккорды формы 5:9:13:17:21:25. Шкала Болена в 833 цента основана на последовательности Фибоначчи, хотя она была создана из комбинационных тонов и содержит сложную сеть гармонических соотношений благодаря включению совпадающих гармоник, наложенных интервалов в 833 цента. Например, "ступень 10 оказывается идентичной октаве (1200 центов) относительно основного тона, одновременно демонстрируя золотое сечение по отношению к ступени 3". Альтернативные шкалы могут быть заданы указанием размера равных темперированных шагов, например, 78-центовая альфа-шкала Венди Карлос и 63,8-центовая бета-шкала, а также 88-центовая шкала Гэри Моррисона (13,64 шага на октаву или 14 шагов на 1232-центовую растянутую октаву). Это даёт альфа-шкале 15,39 шага на октаву, а бета-шкале – 18,75 шага на октаву.
Other non octave tunings investigated by Bohlen include twelve steps in the tritave, named A12 by Enrique Moreno and based on the 4:7:10 chord , seven steps in the octave (7 tet) or similar 11 steps in the tritave, and eight steps in the octave, based on 5:7:9 and of which only the just version would be used. Additionally, the pentave can be divided into eight steps which approximates chords of the form 5:9:13:17:21:25. The Bohlen 833 cents scale is based on the Fibonacci sequence, although it was created from combination tones, and contains a complex network of harmonic relations due to the inclusion of coinciding harmonics of stacked 833 cent intervals. For example, "step 10 turns out to be identical with the octave (1200 cents) to the base tone, at the same time featuring the Golden Ratio to step 3". Alternate scales may be specified by indicating the size of equal tempered steps, for example Wendy Carlos' 78 cent alpha scale and 63.8 cent beta scale, and Gary Morrison's 88 cent scale (13.64 steps per octave or 14 per 1232 cent stretched octave). This gives the alpha scale 15.39 steps per octave and the beta scale 18.75 steps per octave.
39-тонное равное деление тритава
Пол Эрлих предложил разделить каждую ступень Болена–Пирса на три части, чтобы тритава была разделена на 39 равных ступеней вместо 13 равных ступеней. Эта шкала, которую можно рассматривать как три равномерно сдвинутые шкалы Болена–Пирса, дает дополнительные нечетные гармоники. 13-ступенчатая шкала содержит нечетные гармоники 3:1; 5:3, 7:3; 7:5, 9:5; 9:7 и 15:7, в то время как 39-ступенчатая шкала включает все эти и многие другие (11:5, 13:5; 11:7, 13:7; 11:9, 13:9; 13:11, 15:11, 21:11, 25:11, 27:11; 15:13, 21:13, 25:13, 27:13, 33:13 и 35:13), при этом почти все четные гармоники остаются за пределами шкалы (включая 2:1; 3:2, 5:2; 4:3, 8:3; 6:5, 8:5; 9:8, 11:8, 13:8 и 15:8). Размер этой шкалы составляет примерно 25 равных ступеней на октаву, немного превышающую октаву, поэтому каждая из 39 равных ступеней немного меньше половины одной из 12 равных ступеней стандартной шкалы.
Paul Erlich proposed dividing each step of the Bohlen–Pierce into thirds so that the tritave is divided into 39 equal steps instead of 13 equal steps. The scale, which can be viewed as three evenly staggered Bohlen Pierce scales, gives additional odd harmonics. The 13 step scale hits the odd harmonics 3:1; 5:3, 7:3; 7:5, 9:5; 9:7, and 15:7; while the 39 step scale includes all of those and many more (11:5, 13:5; 11:7, 13:7; 11:9, 13:9; 13:11, 15:11, 21:11, 25:11, 27:11; 15:13, 21:13, 25:13, 27:13, 33:13, and 35:13), while still missing almost all of the even harmonics (including 2:1; 3:2, 5:2; 4:3, 8:3; 6:5, 8:5; 9:8, 11:8, 13:8, and 15:8). The size of this scale is about 25 equal steps to a ratio slightly larger than an octave, so each of the 39 equal steps is slightly smaller than half of one of the 12 equal steps of the standard scale. Number of equally tempered steps Equally tempered interval Size of equally tempered interval (cents) Justly intoned interval Size of justly intoned interval (cents) Error (cents) 91 12.9802 4437.90 13/1 4440.53 2.63 85 10.9617 4145.29 11/1 4151.32 6.03 69 6.9845 3365.00 7/1 3368.83 3.83 57 4.9812 2779.78 5/1 2786.31 6.53 49 3.9761 2389.64 4/1 2400.00 10.36 39 3.0000 1901.96 3/1 1901.96 0.00382.91671853.19 225/77 1856.39 3.21 35/12 1853.18 0.00 32/11 1848.68 4.50 189/65 1847.85 5.34 37 2.8357 1804.42 99/35 1800.09 4.33 36 2.7569 1755.65 36/13 1763.38 7.73 135/49 1754.53 1.12 11/7 1751.32 4.33 35 2.6803 1706.88 35/13 1714.61 7.73 34 2.6059 1658.11 13/5 1654.21 3.90332.53351609.35 63/25 1600.11 9.24 33/13 1612.75 3.40 32 2.4631 1560.58 27/11 1554.55 6.03312.39471511.81 12/5 1515.64 3.83 117/49 1506.79 5.02 30 2.3282 1463.04 7/3 1466.87 3.83 29 2.2635 1414.27 25/11 1421.31 7.04 147/65 1412.77 1.51 28 2.2006 1365.51 11/5 1365.00 0.50 27 2.1395 1316.74 15/7 1319.44 2.70 26 2.0801 1267.97 27/13 1265.34 2.63 25 2.0223 1219.20 99/49 1217.58 1.63 24 1.9661 1170.43 49/25 1165.02 5.41 23 1.9115 1121.67 21/11 1119.46 2.20 22 1.8584 1072.90 13/7 1071.70 1.20 21 1.8068 1024.13 9/5 1017.60 6.53 20 1.7566 975.36 135/77 972.03 3.33 7/4 968.83 6.54 19 1.7078 926.59 12/7 933.13 6.54 77/45 929.92 3.33 18 1.6604 877.83 5/3 884.36 6.53 17 1.6143 829.06 21/13 830.25 1.20 16 1.5694 780.29 11/7 782.49 2.20151.5258731.52 75/49 736.93 5.41 14 1.4835 682.75 49/33 684.38 1.63 13 1.4422 633.99 13/9 636.62 2.63121.4022585.22 7/5 582.51 2.70 11 1.3632 536.45 15/11 536.95 0.50 10 1.3254 487.68 65/49 489.19 1.51 33/25 480.65 7.04 9 1.2886 438.91 9/7 435.08 3.83 8 1.2528 390.14 49/39 395.17 5.02 5/4 386.31 3.8371.2180341.38 11/9 347.41 6.03 6 1.1841 292.61 13/11 289.21 3.40 25/21 301.85 9.2451.1512243.84 15/13 247.74 3.90 4 1.1193 195.07 39/35 187.34 7.7331.0882146.3012/11150.64 4.3349/45147.43 1.1213/12138.577.7321.058097.5435/33101.87 4.3311.028648.7765/6354.11 5.3433/3253.27 4.5036/3548.770.0077/7545.563.2101.00000.001/10.000.00
65-тонное равное деление тритава
Деление каждой ступени шкалы Болена-Пирса на пятые (в результате чего тритава делится на 65 ступеней) обеспечивает очень точную октаву (41 ступень) и идеальную квинту (24 ступени), а также приближенные значения для других справедливых интервалов. Шкала практически идентична 41-тоновому равному делению октавы, за исключением того, что каждая ступень немного меньше (менее одной сотой цента на ступень).