Введение

В алгебре модуль с конечным образующим множеством. В математике конечно порожденный модуль — это модуль, имеющий конечное образующее множество. Конечно порожденный модуль над кольцом R также может называться конечным R-модулем, конечным над R или модулем конечного типа. Связанные понятия включают конечно копорожденные модули, конечно представленные модули, конечно определенные модули и когерентные модули, все из которых определены ниже. Над нётеровым кольцом понятия конечно порожденных, конечно представленных и когерентных модулей совпадают. Конечно порожденный модуль над полем — это просто конечномерное векторное пространство, а конечно порожденный модуль над целыми числами — это просто конечно порожденная абелева группа.

Определение

Левый R-модуль M называется конечно порожденным, если существуют элементы a1, a2, ..., an в M такие, что для любого x в M существуют r1, r2, ..., rn в R с x = r1a1 + r2a2 + ... + rnan. Множество {a1, a2, ..., an} в этом случае называется порождающим множеством M. Конечный порождающий набор не обязательно является базисом, поскольку он не обязательно линейно независим над R. Верно следующее: M конечно порожден, тогда и только если существует сюръективное R-линейное отображение:

для некоторого n (M является фактор-модулем свободного модуля конечного ранга). Если множество S порождает конечно порожденный модуль, то существует конечный порождающий набор, включенный в S, поскольку для выражения порождающих элементов любого конечного порождающего набора требуется лишь конечное число элементов из S, и эти элементы образуют порождающий набор. Однако может случиться так, что S не содержит никакого конечного порождающего множества минимальной кардинальности. Например, множество простых чисел является порождающим множеством , рассматриваемым как -модуль, и порождающее множество, сформированное из простых чисел, содержит по крайней мере два элемента, в то время как одноэлементное множество также является порождающим множеством. В случае, когда модуль M является векторным пространством над полем R, а порождающее множество линейно независимо, n однозначно определено и называется размерностью M (однозначно определено означает, что любое линейно независимое порождающее множество содержит n элементов: это теорема о размерности для векторных пространств). Любой модуль является объединением направленного множества его конечно порожденных подмодулей. Модуль M конечно порожден, тогда и только если любая возрастающая цепь Mi подмодулей с объединением M стабилизируется, то есть существует такое i, что Mi = M. Этот факт, вместе с леммой Зорна, влечет за собой, что каждый ненулевой конечно порожденный модуль имеет максимальные подмодули. Если любая возрастающая цепь подмодулей стабилизируется (то есть любой подмодуль конечно порожден), то модуль M называется нётеровым модулем.

Примеры

Если модуль порожден одним элементом, он называется циклическим модулем. Пусть R – целостное кольцо, а K – его полем частных. Тогда каждый конечно порожденный R-подмодуль I в K является дробным идеалом: то есть, существует ненулевой элемент r из R, такой что rI содержится в R. Действительно, можно взять r равным произведению знаменателей порождающих элементов I. Если R – ноетерианское, то каждый дробный идеал возникает таким образом. Конечно порожденные модули над кольцом целых чисел Z совпадают с конечно порожденными абелевыми группами. Они полностью классифицированы теоремой о структуре, рассматривая Z как область главных идеалов. Конечно порожденные (например, левые) модули над кольцом делений являются точно конечномерными векторными пространствами (над этим кольцом делений).

Некоторые факты

Каждый гомоморфный образ конечно порожденного модуля конечно порожден. В общем случае, подмодули конечно порожденных модулей не обязаны быть конечно порожденными. В качестве примера рассмотрим кольцо R = Z[X1, X2, ...] всех многочленов от счетного числа переменных. Само R является конечно порожденным модулем над R (с {1} в качестве порождающего множества). Рассмотрим подмодуль K, состоящий из всех многочленов с нулевым свободным членом. Поскольку каждый многочлен содержит лишь конечное число членов с ненулевыми коэффициентами, модуль K над R не является конечно порожденным. В общем, модуль называется нётеровым, если каждый его подмодуль конечно порожден. Конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом является нётеровым модулем (и, фактически, это свойство характеризует нётеровы кольца): модуль над нётеровым кольцом конечно порожден тогда и только тогда, когда он является нётеровым модулем. Это напоминает, но не совпадает с основной теоремой Гильберта, которая утверждает, что полиномиальное кольцо R[X] над нётеровым кольцом R является нётеровым. Оба факта подразумевают, что конечно порожденная коммутативная алгебра над нётеровым кольцом снова является нётеровым кольцом. В более общем случае, алгебра (например, кольцо), являющаяся конечно порожденным модулем, является конечно порожденной алгеброй. И наоборот, если конечно порожденная алгебра является целочисленной (над кольцом коэффициентов), то она является конечно порожденным модулем. (Подробнее см. в разделе "Целостный элемент"). Пусть 0 → M′ → M → M′′ → 0 — точная последовательность модулей. Тогда M конечно порожден, если M′ и M′′ конечно порождены. Существуют некоторые частные обратные утверждения к этому. Если M конечно порожден и M′′ конечно представлен (что сильнее, чем конечно порожден; см. ниже), то M′ конечно порожден. Также, M является нётеровым (соответственно, артинским) тогда и только тогда, когда M′ и M′′ являются нётеровыми (соответственно, артинскими). Пусть B — кольцо, а A — его подкольцо, такое что B — верно плоский правый A-модуль. Тогда левый A-модуль F конечно порожден (соответственно, конечно представлен) тогда и только тогда, когда B-модуль B ⊗A F конечно порожден (соответственно, конечно представлен).

Модули конечного генерации на коммутативном кольце

Для конечно порожденных модулей над коммутативным кольцом R, лемма Накаямы является фундаментальной. Иногда эта лемма позволяет доказать явления, характерные для конечномерных векторных пространств, для конечно порожденных модулей. Например, если f : M → M – сюръективный R-эндоморфизм конечно порожденного модуля M, то f также инъективен и, следовательно, является автоморфизмом M. Это просто означает, что M является модулем Хопфа. Аналогично, артинов модуль M является кохоффианским: любой инъективный эндоморфизм f также является сюръективным эндоморфизмом. Любой R-модуль является индуктивным пределом конечно порожденных R-подмодулей. Это полезно для ослабления предположения до конечного случая (например, при характеризации плоскостности с помощью функтора Tor). Пример связи между конечным порождением и интегральными элементами можно найти в коммутативных алгебрах. Говорить о том, что коммутативная алгебра A является конечно порожденным кольцом над R, означает, что существует множество элементов из A, такое что наименьшее подкольцо A, содержащее G и R, совпадает с самим A. Поскольку кольцевое умножение может использоваться для комбинирования элементов, генерируются не только R-линейные комбинации элементов G. Например, кольцо многочленов R[x] является конечно порожденным как кольцо, но не как модуль. Если A – коммутативная алгебра (с единицей) над R, то следующие два утверждения эквивалентны: A является конечно порожденным R-модулем. A является одновременно конечно порожденным кольцом над R и интегральным расширением R.

Общий ранг

Пусть M — конечно порожденный модуль над интегральной областью A с полем частных K. Тогда размерность называется генерическим рангом M над A. Это число равно числу максимального количества A-линейно независимых векторов в M или, эквивалентно, рангу максимального свободного подмодуля M (см. Ранг абелевой группы). Поскольку , то M — модуль кручения. Когда A — ноетерианское, в силу общей свободы, существует элемент f (зависящий от M) такой, что — свободный модуль. Тогда ранг этого свободного модуля является генерическим рангом M.

Теперь предположим, что интегральная область A порождена как алгебра над полем k конечным числом однородных элементов степеней . Пусть M также градуирован и пусть — ряд Пуанкаре M. По теореме Гильберта — Серра, существует многочлен F такой, что — генерический ранг M.

Конечно порожденный модуль над областью главных идеалов свободен от кручения тогда и только тогда, когда он свободен. Это следствие теоремы о структуре конечно порожденных модулей над областью главных идеалов, основная форма которой утверждает, что конечно порожденный модуль над областью главных идеалов является прямой суммой модуля кручения и свободного модуля. Но это также можно показать непосредственно следующим образом: пусть M — конечно порожденный модуль без кручения над областью главных идеалов A, а F — максимальный свободный подмодуль. Пусть f принадлежит A так, что . Тогда свободен, поскольку является подмодулем свободного модуля, а A — область главных идеалов. Но теперь — изоморфизм, поскольку M свободен от кручения. По тому же аргументу, что и выше, конечно порожденный модуль над доменом Дедекинда A (или, более общо, полунаследственным кольцом) свободен от кручения тогда и только тогда, когда он проективен; следовательно, конечно порожденный модуль над A является прямой суммой модуля кручения и проективного модуля. Конечно порожденный проективный модуль над ноетерианской интегральной областью имеет постоянный ранг, и поэтому генерический ранг конечно порожденного модуля над A равен рангу его проективной части.

Эквивалентные определения и конечные когенерируемые модули

Следующие условия эквивалентны конечному порождению модуля M (f. g.): Для любого семейства подмодулей {Ni | i ∈ I} в M, если , то для некоторого конечного подмножества F из I. Для любой цепи подмодулей {Ni | i ∈ I} в M, если , то 1 = Ni = M для некоторого i из I. Если φ является эпиморфизмом, то ограничение φ на некоторое конечное подмножество F из I также является эпиморфизмом. Из этих условий легко следует, что конечное порождение – это свойство, сохраняемое эквивалентностью Мориты. Эти условия также удобны для определения двойственного понятия конечно когенерируемого модуля M. Следующие условия эквивалентны тому, что модуль является конечно когенерируемым (f. cog.): Для любого семейства подмодулей {Ni | i ∈ I} в M, если , то для некоторого конечного подмножества F из I. Для любой цепи подмодулей {Ni | i ∈ I} в M, если , то Ni = для некоторого i из I. Если ψ является мономорфизмом, где каждый ψ(Ni) является R-модулем, то ψ на некоторое конечное подмножество F из I также является мономорфизмом. Как f. g.-модули, так и f. cog.-модули имеют интересные связи с ноэтерианскими и артинианскими модулями, а также с радикалом Джейкобсона J(M) и соклем soc(M) модуля. Следующие факты иллюстрируют двойственность между этими двумя условиями. Для модуля M: M является ноэтерианским тогда и только тогда, когда каждый подмодуль N модуля M является f. g. M является артинианским тогда и только тогда, когда каждый фактор-модуль M/N является f. cog. M является f. g. тогда и только тогда, когда J(M) является избыточным подмодулем M, а M/J(M) является f. g. M является f. cog. тогда и только тогда, когда soc(M) является существенным подмодулем M, и soc(M) является f. g. Если M является полупростым модулем (например, soc(N) для любого модуля N), то он является f. g. тогда и только тогда, когда он является f. cog. Если M является f. g. и не равен нулю, то M имеет максимальный подмодуль, и любой фактор-модуль M/N является f. g. Если M является f. cog. и не равен нулю, то M имеет минимальный подмодуль, и любой подмодуль N модуля M является f. cog. Если N и M/N являются f. g., то и M является f. g. То же самое верно, если "f. g." заменить на "f. cog.". Конечно когенерируемые модули должны иметь конечную равномерную размерность. Это легко увидеть, применяя характеризацию с использованием конечно порожденного существенного сокля. Несколько асимметрично, конечно порожденные модули не обязательно имеют конечную равномерную размерность. Например, бесконечное прямое произведение ненулевых колец является конечно порожденным (циклическим!) модулем над собой, однако оно явно содержит бесконечную прямую сумму ненулевых подмодулей. Конечно порожденные модули не обязательно имеют конечную коразмерность: любое кольцо R с единицей, такое что R/J(R) не является полупростым кольцом, является контрпримером.