Кіріспе
Алгебрада, шекті тудырушы жиынтығы бар модуль – математикада, шекті тудырушы модуль деп аталады, яғни шекті тудырушы жиынтығы бар модуль. R сақинасы үстіндегі шекті тудырушы модульді R-дің үстіне шекті модуль, R-ге қатысты шекті модуль немесе шекті типтегі модуль деп те атай беруге болады. Қатысты ұғымдарға төменде анықталған шекті когенерациялық модульдер, шекті ұсынылған модульдер, шекті байланысты модульдер және когерентті модульдер жатады. Нотериандық сақинада шекті тудырушы, шекті ұсынылған және когерентті модульдер ұғымдары сәйкес келеді. Дала үстіндегі шекті тудырушы модуль – бұл шекті өлшемді векторлық кеңістік, ал бүтін сандар үстіндегі шекті тудырушы модуль – бұл шекті тудырылған абелдік топ.
In mathematics, a finitely generated module is a module that has a finite generating set. A finitely generated module over a ring R may also be called a finite R module, finite over R, or a module of finite type. Related concepts include finitely cogenerated modules, finitely presented modules, finitely related modules and coherent modules all of which are defined below. Over a Noetherian ring the concepts of finitely generated, finitely presented and coherent modules coincide. A finitely generated module over a field is simply a finite dimensional vector space, and a finitely generated module over the integers is simply a finitely generated abelian group.
Анықтама
Сол R модулі M егер M-де a1, a2, ..., an болса, онда кез келген x ∈ M үшін R-де r1, r2, ..., rn бар болса, онда x = r1a1 + r2a2 + ... + rnan. {a1, a2, ..., an} жиыны бұл жағдайда M-нің тудырушы жиыны деп аталады. Шекті генерациялайтын жиын негіз болуы міндетті емес, өйткені ол R-ге қатысты сызықтық тәуелсіз болуы қажет емес. Шындық мынада: M шекті түрде туындайды, егер және тек егер R сызықтық бейнелеуі болса:
кейбір n үшін (M – шекті реттік еркін модульдің бөлігі). Егер S жиынтығы шекті түрде туындайтын модульді тудыратын болса, онда S-ке кіретін шекті генерациялайтын жиынтығы бар, өйткені кез келген шекті генерациялайтын жиынтығындағы генераторларды білдіру үшін S-дегі тек шекті элементтер қажет, ал бұл шекті элементтер генерациялайтын жиынтықты құрайды. Алайда, S құрамында ең төменгі кардиналдылықтағы шекті генерациялық жиынтығы жоқ болуы мүмкін. Мысалы, жай сандар жиыны модуль ретінде қаралатын, ал жай сандардан құралған генерациялық жиынның кем дегенде екі элементі бар, ал бір элементті жиын да генерациялық жиын болып табылады. Егер модуль M R өрісі бойынша векторлық кеңістік болса және генерациялайтын жиын сызықтық тәуелсіз болса, n жақсы анықталған және M-нің өлшемі деп аталады (жақсы анықталған – кез келген сызықтық тәуелсіз генерациялайтын жиынтығында n элемент бар дегенді білдіреді: бұл векторлық кеңістіктер үшін өлшем теоремасы). Кез келген модуль – оның шекті түрде туындайтын кіші модульдерінің бағытталған жиынтығының бірігуі. M модулі шекті түрде туындайды, егер және тек қана M қосылысы бар кіші модульдердің Mi өсу тізбегі тұрақтанса: яғни, Mi = M болатын i бар. Бұл факт Зорн леммасымен бірге әрбір нөлден өзгеше шекті түрде туындайтын модуль ең жоғары кіші модульдерге ие екенін білдіреді. Егер кіші модульдердің кез келген тізбегі тұрақтанса (яғни кез келген кіші модуль шекті түрде туындайтын болса), онда M модулі Нотер модулі деп аталады.
Мысалдар
Егер модуль бір элементтен туындаса, онда ол циклдік модуль деп аталады. R – K бөлшектер өрісіне ие интегралды домен болсын. Онда K-нің кез келген шекті түрде жасалған R-субмодулі – бөлшектік идеал болады: яғни, R-де нөлден өзге r элементі бар, онда rI R-ге кіреді. Шындығында, r-ді I-дің генераторларының бөлімдерінің көбейтіндісі ретінде алуға болады. Егер R нотериан болса, онда кез келген бөлшектік идеал осылай туындайды. Z бүтін сандар сақинасының үстіндегі шекті жасалған модульдер, шекті жасалған абелдік топтармен сәйкес келеді. Олар құрылым теоремасы бойынша толық классификацияланады, Z негізгі идеалдық домен ретінде қарастырылады. Бөлу сақинасының үстіндегі шекті жасалған (мысалы, сол жақты) модульдер – дәл шекті өлшемді векторлық кеңістіктер болып табылады (бөлу сақинасының үстінде).
Кейбір фактілер
Шекті түрде құрылған модульдің кез келген гомоморфты бейнесі шекті түрде құрылады. Жалпы, шекті түрде құрылған модульдердің субмодульдері міндетті түрде шекті түрде құрылмайды. Мысал ретінде, санаулы көптеген айнымалылардағы барлық полиномиалдардың сақинасын R = Z[X1, X2, ...] қарастырайық. R өзі шекті түрде құрылған R-модулі болып табылады ({1} – генераторлық жиын). К-ны тұрақты мүшесі нөлге тең болатын барлық полиномиалдардан тұратын субмодуль деп қарастырайық. Кез келген полиномиалда коэффициенттері нөлден өзгеше болатын тек шекті ғана мүшелер болатындықтан, R-модулі K шекті түрде құрылмайды. Жалпы, егер әрбір субмодуль шекті түрде құрылса, модуль Ноэтериан деп аталады. Ноэтериан сақинасы арқылы шекті түрде құрылған модуль – Ноэтериан модуль (және бұл қасиет Ноэтериан сақиналарын сипаттайды): Ноэтериан сақинасы арқылы модуль, егер ол Ноэтериан модуль болса ғана шекті түрде құрылады. Бұл Хилберттің негіздер теоремасына ұқсас, бірақ одан толыққанды емес, ол Ноэтериан сақина R арқылы полиномиалдық сақина R[X] Ноэтериан болады деп мәлімдейді. Екі факті де Ноэтериан сақинадағы шекті түрде құрылған коммутативтік алгебраның қайтадан Ноэтериан сақина екенін көрсетеді. Көбірек айтқанда, шекті түрде құрылған модульді алгебра (мысалы, сақина) – шекті түрде құрылған алгебра болып табылады. Керісінше, егер шекті түрде құрылған алгебра коэффициент сақинасы бойынша интегралды болса, онда ол шекті түрде құрылған модуль болады. (Толығырақ ақпарат алу үшін интегралды элементке қараңыз.) 0 → M′ → M → M′′ → 0 модульдердің дәл тізбегі болсын. Егер M′, M′′ шекті түрде құрылса, онда M шекті түрде құрылады. Бұл туралы толық кері теоремалар да бар. Егер M шекті түрде құрылса және M′′ шекті түрде берілсе (шекті түрде құрылғаннан күштірек; төменде қараңыз), онда M′ шекті түрде құрылады. Сондай-ақ, M Ноэтериан (сәйкесінше Артиниян) егер және тек қана егер M′, M′′ Ноэтериан (сәйкесінше Артиниян) болса. B сақина болсын, ал A оның ішкі сақинасы болсын, сонда B – A модуліне қатысты толыққанды жазық. Содан кейін сол жақ A модулі F шекті түрде құрылады (сәйкесінше шекті түрде беріледі), егер және тек қана егер B модулі B ⊗A F шекті түрде құрылса (сәйкесінше шекті түрде берілсе).
Коммутативтік сақинадағы шекті пайда болған модульдер
R коммутативтік сақинадағы шекті жасалған модульдер үшін Накаяма леммасы негізгі болып табылады. Кейде лемма шекті өлшемді векторлық кеңістіктердің құбылыстарын шекті жасалған модульдер үшін дәлелдеуге мүмкіндік береді. Мысалы, егер f: M → M – шекті жасалған модульдің R сюръективті эндоморфизмі болса, онда f сонымен қатар инъективті, демек, M-нің автоморфизмі болады. Бұл M – Хопфиан модуль дегенді қарапайым түрде білдіреді. Сол сияқты, Артиния модуль М – кохопфиандық: кез келген инъективті эндоморфизм f – сонымен қатар сюръективті эндоморфизм болады. Кез келген R модуль – шекті жасалған R субмодульдерінің индуктивтік шегі. Бұл болжамды шекті жағдайға дейін әлсірету үшін пайдалы (мысалы, Tor функторымен жазықтықты сипаттау). Шекті жасау мен интегралды элементтер арасындағы байланыстың мысалын коммутативтік алгебрадан табуға болады. Коммутативтік алгебра A, R-де шекті жасалған сақина деп айту, A элементтерінің жиынтығы бар екенін білдіреді, сондықтан G және R-ды қамтитын A-ның ең кіші субсақинасы A-ның өзі болып табылады. Сақиналық көбейту элементтерді біріктіру үшін пайдаланылуы мүмкін болғандықтан, G элементтерінің тек R сызықтық комбинациялары ғана емес, басқа да элементтер туындайды. Мысалы, R[x] көпмүшелік сақинасы сақина ретінде, бірақ модуль ретінде емес, шекті жасалады. Егер A, R бойынша коммутативтік алгебра (бірлікпен) болса, онда келесі екі тұжырым тең: A – шекті жасалған R модуль. A – R-дің үстінде шекті жасалған сақина және R-дің интегралды кеңейтілуі.
A is a finitely generated R module. A is both a finitely generated ring over R and an integral extension of R.
Жалпы дәреже
M бөлшектер өрісі K бар интегралдық A сақинасы бойынша шекті түрде жасалған модуль болсын. Содан кейін өлшем M үстінде A-ның жалпы рангі деп аталады. Бұл сан M-дегі максималды А-сызықтық тәуелсіз векторлардың санымен немесе M-нің максималды еркін субмодулінің рангімен бірдей (қ. Абельдік топтың рангі). Сөйтіп, M бұралу модулі болады. A нотериандық болғанда, жалпы еркіндік бойынша, M-ге тәуелді f элементі бар, онда M еркін модуль болады. Бұл еркін модульдің рангі – M-нің жалпы рангі. Енді интегралдық доменді k өрісіндегі алгебра ретінде сандық сандар санының шекті көп біртекті элементтері арқылы жасалған деп есептейік. М де сатыланған деп есептейік және M-нің Пуанкаре қатары P(t) болсын. Хилберт-Серре теоремасы бойынша, F көпмүшесі бар, онда P(t) = F(t)/(1-t)^n, мұндағы n – M-нің жалпы рангі.
Now suppose the integral domain A is generated as algebra over a field k by finitely many homogeneous elements of degrees Suppose M is graded as well and let be the Poincaré series of M.
By the Hilbert–Serre theorem, there is a polynomial F such that Then is the generic rank of M.
A finitely generated module over a principal ideal domain is torsion free if and only if it is free. This is a consequence of the structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain, the basic form of which says a finitely generated module over a PID is a direct sum of a torsion module and a free module. But it can also be shown directly as follows: let M be a torsion free finitely generated module over a PID A and F a maximal free submodule. Let f be in A such that Then is free since it is a submodule of a free module and A is a PID. But now is an isomorphism since M is torsion free. By the same argument as above, a finitely generated module over a Dedekind domain A (or more generally a semi hereditary ring) is torsion free if and only if it is projective; consequently, a finitely generated module over A is a direct sum of a torsion module and a projective module. A finitely generated projective module over a Noetherian integral domain has constant rank and so the generic rank of a finitely generated module over A is the rank of its projective part.
Негізгі идеалдық домендегі шекті түрде жасалған модуль торсиясыз болса және тек қана еркін болса. Бұл негізгі идеалдық домендегі шекті түрде жасалған модульдер үшін құрылым теоремасының салдары болып табылады, оның негізгі түрі PID-де шекті түрде жасалған модуль – бұралу модулі мен еркін модульдің тікелей қосындысы. Бірақ оны тікелей келесідей көрсетуге болады: M – PID A-да торсиясыз шекті түрде жасалған модуль және F – максималды еркін субмодуль. f А-дағы элемент болсын, онда F+fM = M, сонда M бос, өйткені ол еркін модульдің субмодулі, ал A – PID. Бірақ қазір M бұралусыз болғандықтан, F+fM = M изоморфизм болады. Жоғарыда айтылғандай, А-дағы шекті түрде жасалған модуль егер және тек проективті болса, торсиялық емес; нәтижесінде, А-дағы шекті түрде жасалған модуль – торсиялық модуль мен проективті модульдің тікелей қосындысы. Нотерлік интегралдық домендегі шекті түрде жасалған проективті модульдің тұрақты рангі бар, сондықтан шекті түрде жасалған модульдің A-дағы жалпы рангі оның проективті бөлігінің рангі болып табылады.
Now suppose the integral domain A is generated as algebra over a field k by finitely many homogeneous elements of degrees Suppose M is graded as well and let be the Poincaré series of M.
By the Hilbert–Serre theorem, there is a polynomial F such that Then is the generic rank of M.
A finitely generated module over a principal ideal domain is torsion free if and only if it is free. This is a consequence of the structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain, the basic form of which says a finitely generated module over a PID is a direct sum of a torsion module and a free module. But it can also be shown directly as follows: let M be a torsion free finitely generated module over a PID A and F a maximal free submodule. Let f be in A such that Then is free since it is a submodule of a free module and A is a PID. But now is an isomorphism since M is torsion free. By the same argument as above, a finitely generated module over a Dedekind domain A (or more generally a semi hereditary ring) is torsion free if and only if it is projective; consequently, a finitely generated module over A is a direct sum of a torsion module and a projective module. A finitely generated projective module over a Noetherian integral domain has constant rank and so the generic rank of a finitely generated module over A is the rank of its projective part.
Теңдес анықтамалар және шекті қуатты қосарлы-электрлік модульдер
Келесі шарттар M-нің шекті түрде жасалуына тең (f. g.):
M-дегі {Ni | i ∈ I} субмодульдер отбасының кез келгені үшін, егер , онда I-дің белгілі бір шекті жиыны F үшін . M-дегі {Ni | i ∈ I} субмодульдер тізбегінің кез келгені үшін, егер , онда 1=Ni = M I-дегі кейбір i үшін. Егер эпиморфизм болса, онда шектеу I-дің белгілі бір шекті жиыны F үшін эпиморфизм болады. Осы шарттардан шекті түрде жасалудың Морита эквиваленті арқылы сақталатын қасиет екенін көру оңай. Шарттар сондай-ақ шекті когенерациялық модульдің екілік ұғымын анықтауға ыңғайлы. Келесі шарттар модульдің шекті когенерациялық болуына тең (f. cog.):
M-дегі {Ni | i ∈ I} субмодульдер отбасының кез келгені үшін, егер , онда I-дің белгілі бір шекті жиыны F үшін. M-дегі {Ni | i ∈ I} субмодульдер тізбегінің кез келгені үшін, егер , онда Ni = I-дегі кейбір i үшін. Егер мономорфизм болса, мұндағы әрқайсысы R модулі, онда ол I-дің белгілі бір шекті жиыны F үшін мономорфизм болады. f. g. модульдері мен f. cog. модульдердің Ноэтериандық және Артинийлік модульдермен қызықты байланыстары бар, сондай-ақ модульдің Джейкобсон радикалы J(M) және соклі soc(M). Келесі фактілер екі жағдайдың арасындағы екіжақтылықты көрсетеді. M модулі үшін:
M Ноэтериандық, егер және тек егер M-нің әрбір N субмодулі f. g. болса.
M Артинийлік, егер және тек егер әрбір M/N фактор-модулі f. cog. болса.
M f. g., егер және тек егер J(M) M-нің артық субмодулі болса және M/J(M) f. g. болса.
M f. cog., егер және тек егер soc(M) M-нің негізгі субмодулі болса, ал soc(M) f. g. болса.
Егер M кез келген N модулі үшін жартылай қарапайым модуль болса (мысалы, soc(N)), онда ол f. g., егер және тек егер f. cog. болса.
Егер M f. g. және нөлден өзгеше болса, онда M-нің максималды субмодулі бар және кез келген фактор-модуль M/N f. g. болады.
Егер M f. cog. және нөлден өзгеше болса, онда M-нің минималды субмодулі бар, ал M-нің кез келген N субмодулі f. cog. болады.
Егер N және M/N f. g. болса, онда M да f. g. болады. Сол сияқты, егер "f. g." "f. cog."-мен ауыстырылса да, осылай болады.
Шекті когенерациялық модульдердің шекті біртекті өлшемдері болуы керек. Бұл анық көрінеді, шекті түрде жасалған негізгі сокльді пайдалану арқылы мінездемені қолдану арқылы. Біраз асимметриялы түрде, шекті түрде жасалған модульдердің шекті біртекті өлшемдері болуы міндетті емес. Мысалы, нөлден өзгеше сақиналардың шексіз тікелей көбейтіндісі өзінің үстінен шекті түрде жасалған (циклді!) модуль болып табылады, бірақ онда нөлден өзгеше субмодульдердің шексіз тікелей қосындысы бар. Шекті түрде жасалған модульдердің де шекті біртекті өлшемдері болуы шарт емес: R/J(R) жартылай қарапайым емес болса, онда осыған қарсы мысал болады.
For any family of submodules {Ni | i ∈ I} in M, if , then for some finite subset F of I. For any chain of submodules {Ni | i ∈ I} in M, if , then 1=Ni = M for some i in I. If is an epimorphism, then the restriction is an epimorphism for some finite subset F of I. From these conditions it is easy to see that being finitely generated is a property preserved by Morita equivalence. The conditions are also convenient to define a dual notion of a finitely cogenerated module M. The following conditions are equivalent to a module being finitely cogenerated (f. cog. ):
For any family of submodules {Ni | i ∈ I} in M, if , then for some finite subset F of I. For any chain of submodules {Ni | i ∈ I} in M, if , then Ni = for some i in I. If is a monomorphism, where each is an R module, then is a monomorphism for some finite subset F of I. Both f. g. modules and f. cog. modules have interesting relationships to Noetherian and Artinian modules, and the Jacobson radical J(M) and socle soc(M) of a module. The following facts illustrate the duality between the two conditions. For a module M:
M is Noetherian if and only if every submodule N of M is f. g.
M is Artinian if and only if every quotient module M/N is f. cog. M is f. g. if and only if J(M) is a superfluous submodule of M, and M/J(M) is f. g.
M is f. cog. if and only if soc(M) is an essential submodule of M, and soc(M) is f. g.
If M is a semisimple module (such as soc(N) for any module N), it is f. g. if and only if f. cog. If M is f. g. and nonzero, then M has a maximal submodule and any quotient module M/N is f. g.
If M is f. cog. and nonzero, then M has a minimal submodule, and any submodule N of M is f. cog. If N and M/N are f. g. then so is M. The same is true if "f. g." is replaced with "f. cog." Finitely cogenerated modules must have finite uniform dimension. This is easily seen by applying the characterization using the finitely generated essential socle. Somewhat asymmetrically, finitely generated modules do not necessarily have finite uniform dimension. For example, an infinite direct product of nonzero rings is a finitely generated (cyclic!) module over itself, however it clearly contains an infinite direct sum of nonzero submodules. Finitely generated modules do not necessarily have finite co uniform dimension either: any ring R with unity such that R/J(R) is not a semisimple ring is a counterexample.