Введение

В математике тонкие кардиналы и эфирные кардиналы являются близкородственными типами больших кардинальных чисел. Кардинал κ называется тонким, если для каждой замкнутой и неограниченной C ⊂ κ и для каждой последовательности A длины κ, для которой порядковый номер δ (для произвольного δ), Aδ ⊂ δ, существуют α и β, принадлежащие C, такие что α < β и Aα = Aβ ∩ α. Кардинал κ называется эфирным, если для каждой замкнутой и неограниченной C ⊂ κ и для каждой последовательности A длины κ, для которой порядковый номер δ (для произвольного δ), Aδ ⊂ δ и мощность Aδ равна мощности δ, существуют α и β, принадлежащие C, такие что α < β и мощность(α) = мощность(Aβ ∩ Aα). Тонкие кардиналы были введены, эфирные кардиналы были введены. Любой тонкий кардинал является эфирным, и любой сильно недоступный эфирный кардинал является тонким.

Связь с принципом Вопенки

Тонкие кардиналы эквивалентны слабой форме кардиналов Вопенки. А именно, недоступный кардинал является тонким тогда и только тогда, когда в , любая логика имеет стационарное множество кардиналов слабой компактности. Сам принцип Вопенки можно сформулировать как существование кардинала сильной компактности для каждой логики.

Теорема

Существует тонкий кардинал ≤ κ тогда и только тогда, когда каждое транзитивное множество S мощности κ содержит x и y такие, что x является собственным подмножеством y, и x ≠ Ø и x ≠ {Ø}. Следствие 2.6 Бесконечный ординал κ является тонким тогда и только тогда, когда для каждого λ < κ каждое транзитивное множество S мощности κ включает цепь (по включению) порядка типа λ.

Расширения

Гипертонкий кардинал — это тонкий кардинал, обладающий стационарным множеством тонких кардиналов, меньших его. С. 1014