Введение
В комплексном анализе, ветви математики, изолированная сингулярность – это сингулярность, рядом с которой нет других сингулярностей. Иными словами, комплексное число z0 является изолированной сингулярностью функции f, если существует открытый диск D с центром в z0, такой что f голоморфна на D \ {z0}, то есть на множестве, полученном из D вычитанием точки z0. Формально, и в рамках общей топологии, изолированная сингулярность голоморфной функции – это любая изолированная точка границы области определения. Другими словами, если U – открытое подмножество ℂ, а f – голоморфная функция, то z0 является изолированной сингулярностью f. Каждая сингулярность мероморфной функции на открытом подмножестве U изолирована, но одной лишь изоляции сингулярностей недостаточно, чтобы гарантировать, что функция является мероморфной. Многие важные инструменты комплексного анализа, такие как разложение в ряд Лорана и теорема о вычетах, требуют, чтобы все рассматриваемые сингулярности функции были изолированными. Существует три типа изолированных сингулярностей: устранимые сингулярности, полюсы и существенные сингулярности.
In complex analysis, a branch of mathematics, an isolated singularity is one that has no other singularities close to it. In other words, a complex number z0 is an isolated singularity of a function f if there exists an open disk D centered at z0 such that f is holomorphic on D \ {z0}, that is, on the set obtained from D by taking z0 out. Formally, and within the general scope of general topology, an isolated singularity of a holomorphic function is any isolated point of the boundary of the domain In other words, if is an open subset of , and is a holomorphic function, then is an isolated singularity of
Every singularity of a meromorphic function on an open subset is isolated, but isolation of singularities alone is not sufficient to guarantee a function is meromorphic. Many important tools of complex analysis such as Laurent series and the residue theorem require that all relevant singularities of the function be isolated. There are three types of isolated singularities: removable singularities, poles and essential singularities.
Примеры
Функция имеет 0 как изолированную особенность. Косеканс имеет каждое целое число как изолированную особенность.
Неизолированные сингулярности
Помимо изолированных сингулярностей, комплексные функции одной переменной могут демонстрировать и другие типы сингулярного поведения. А именно, существуют два вида неизолированных сингулярностей: точки накопления, то есть предельные точки изолированных сингулярностей: если все они – полюсы, то, несмотря на возможность разложения в ряд Лорана в каждой из них, такое разложение невозможно в их пределе. Естественные границы, то есть любое неизолированное множество (например, кривая), вокруг которого аналитическое продолжение функции невозможно (или за его пределами, если это замкнутые кривые на сфере Римана).
Cluster points, i. e. limit points of isolated singularities: if they are all poles, despite admitting Laurent series expansions on each of them, no such expansion is possible at its limit. Natural boundaries, i. e. any non isolated set (e. g. a curve) around which functions cannot be analytically continued (or outside them if they are closed curves in the Riemann sphere).
Примеры
Функция мероморфна на , с простыми полюсами в , для каждого Поскольку , каждый проколотый диск с центром в содержит бесконечное число сингулярностей, поэтому разложение в ряд Лорана для в окрестности невозможно, так как является точкой накопления его полюсов. Функция имеет сингулярность в 0, которая не является изолированной, поскольку существуют дополнительные сингулярности в точках, обратных каждому целому числу, расположенных сколь угодно близко к 0 (хотя сами эти сингулярности в обратных величинах изолированы). Функция, заданная рядом Маклорена, сходится внутри открытого единичного диска с центром в и имеет единичную окружность в качестве своей естественной границы.