Кіріспе
Күрделі талдауда, математиканың бір саласында, оқшауланған сингулярлық – өзіне жақын басқа сингулярлықтары жоқ сингулярлық. Басқаша айтқанда, егер z0 кешенді саны үшін z0 орталығында ашық диск D болса, және f функциясы D \ {z0} жиынында голоморфты болса, яғни D жиынынан z0 алынғанда голоморфты болса, онда z0 функцияның оқшауланған сингулярлығы болып табылады. Формальды түрде, және жалпы топологияның жалпы аясында, голоморфтық функцияның оқшауланған сингулярлығы – домен шекарасының кез келген оқшауланған нүктесі. Яғни, егер ашық жиынның ішкі жиыны болса және голоморфтық функция болса, онда функциясының оқшауланған сингулярлығы болып табылады. Ашық жиынның ішкі жиынындағы мероморфтық функцияның кез келген сингулярлығы оқшауланған, бірақ сингулярлықтардың оқшауланғаны ғана функцияның мероморфты екендігіне кепілдік бермейді. Лоран қатарлары және қалдық теоремасы сияқты күрделі талдаудың маңызды құралдары функцияның барлық қатысты сингулярлықтары оқшауланғанын талап етеді. Оқшауланған сингулярлықтардың үш түрі бар: алынып тасталатын сингулярлықтар, полюстер және маңызды сингулярлықтар.
In complex analysis, a branch of mathematics, an isolated singularity is one that has no other singularities close to it. In other words, a complex number z0 is an isolated singularity of a function f if there exists an open disk D centered at z0 such that f is holomorphic on D \ {z0}, that is, on the set obtained from D by taking z0 out. Formally, and within the general scope of general topology, an isolated singularity of a holomorphic function is any isolated point of the boundary of the domain In other words, if is an open subset of , and is a holomorphic function, then is an isolated singularity of
Every singularity of a meromorphic function on an open subset is isolated, but isolation of singularities alone is not sufficient to guarantee a function is meromorphic. Many important tools of complex analysis such as Laurent series and the residue theorem require that all relevant singularities of the function be isolated. There are three types of isolated singularities: removable singularities, poles and essential singularities.
Мысалдар
Функцияның оқшауланған ерекше нүктесі 0-ге тең. Косекант функциясының кез келген бүтін саны оқшауланған ерекше нүкте болып табылады.
Оқшауланбаған ерекшеліктер
Оқшауланған сингулярлықтардан басқа, бір айнымалының комплекс функциялары басқа да сингулярлық мінез-құлықтарды көрсете алады. Атап айтқанда, оқшауланбаған сингулярлықтардың екі түрі бар: кластерлік нүктелер, яғни оқшауланған сингулярлықтардың шекті нүктелері: егер олардың барлығы полюстер болса, әрқайсысы үшін Лоран қатарларын кеңейтуге мүмкіндік болғанымен, оның шегінде мұндай кеңейту мүмкін емес. Табиғи шекаралар, яғни функцияларды аналитикалық түрде жалғастыру мүмкін емес кез келген оқшауланбаған жиын (мысалы, қисық сызық) (немесе Риман сферасында жабық қисық сызықтар болған жағдайда, олардың сыртында).
Cluster points, i. e. limit points of isolated singularities: if they are all poles, despite admitting Laurent series expansions on each of them, no such expansion is possible at its limit. Natural boundaries, i. e. any non isolated set (e. g. a curve) around which functions cannot be analytically continued (or outside them if they are closed curves in the Riemann sphere).
Мысалдар
Функция , -де қарапайым полюстермен , -де мероморфты. , болғандықтан, -ге ортақталған әрбір тесіктелген диск ішінде шексіз көп сингулярлықтар бар, сондықтан функцияның , нүктесінің маңында Лоран қатарын алу мүмкін емес, себебі бұл нүкте оның полюстерінің жиынтық нүктесі болып табылады. Функцияның 0-де оқшауланбаған сингулярлығы бар, өйткені әрбір бүтін санның кері санында қосымша сингулярлықтар орналасқан, олар 0-ге кез келген жақындыққа дейін орналасуы мүмкін (бірақ бұл кері сандардағы сингулярлықтардың өзі оқшауланған). Маклаурин қатары арқылы анықталған функция , нүктесіндегі ашық бірлік дискінің ішінде жинақталады және бірлік шеңберін өзінің табиғи шекарасы ретінде қабылдайды.