Рауль Ботт: Жизнь и вклад в математику

Введение

Венгерско-американский математик

Рауль Ботт (24 сентября 1923 – 20 декабря 2005) — венгерско-американский математик, известный своими многочисленными основополагающими вкладами в геометрию в широком смысле этого слова. Он наиболее известен теоремой периодичности Ботта, функциями Морзе — Ботта, которые он использовал в этой связи, и теоремой Бореля — Ботта — Вейля.

Ранние годы

Ботт родился в Будапеште, Венгрия, в семье Маргит Ковач и Рудольфа Ботта. Его отец был австрийского происхождения, а мать – венгерской еврейки; Ботт был воспитан католиком матерью и отчимом. Он вырос в Чехословакии и провел всю трудовую жизнь в Соединенных Штатах. Его семья эмигрировала в Канаду в 1938 году, после чего он служил в канадской армии в Европе во время Второй мировой войны.

Карьера

Позже Ботт поступил в колледж в Университете Макгилла в Монреале, где изучал электротехнику. Затем он получил докторскую степень по математике в Университете Карнеги-Меллона в Питтсбурге в 1949 году. Его диссертация под названием «Теория электрических сетей» была написана под руководством Ричарда Даффина. После этого он начал преподавать в Мичиганском университете в Энн-Арборе. Ботт продолжил обучение в Институте перспективных исследований в Принстоне. Он был профессором Гарвардского университета с 1959 по 1999 год. В 2005 году Ботт умер от рака в Сан-Диего. Вместе с Ричардом Даффином в Карнеги-Меллоне Ботт изучал существование электронных фильтров, соответствующих заданным положительным вещественным функциям. В 1949 году они доказали фундаментальную теорему синтеза фильтров. Даффин и Ботт расширили более ранние работы Отто Бруна, установившие, что необходимые функции комплексной частоты s могут быть реализованы пассивной сетью индукторов и конденсаторов. Доказательство опиралось на индукцию по сумме степеней многочленов в числителе и знаменателе рациональной функции. В интервью 2000 года Аллину Джексону из Американского математического общества он объяснил, что рассматривает «сети как дискретные версии гармонической теории», поэтому его опыт в области синтеза сетей и топологии электронных фильтров познакомил его с алгебраической топологией. Ботт встретил Арнольда С. Шапиро в ИАС и они работали вместе. Он изучал теорию гомотопии групп Ли, используя методы теории Морса, что привело к теореме периодичности Ботта (1957). В ходе этой работы он ввел функции Морзе–Ботта, важное обобщение функций Морса. Это привело к его многолетнему сотрудничеству с Майклом Атия, начавшемуся с роли периодичности в K-теории. Ботт внес важный вклад в теорему об индексе, особенно в формулировку связанных с ней теорем о неподвижной точке, в частности, так называемой теоремы о неподвижной точке Вудс-Хола, являющейся комбинацией теоремы Римана–Роха и теоремы Лефшеца о неподвижной точке (она названа в честь Вудс-Хола, штат Массачусетс, места проведения конференции, на которой в ходе коллективного обсуждения она была сформулирована). Основные работы Атия и Ботта, посвященные современной теореме Атия–Ботта о неподвижной точке, были написаны в период до 1968 года; они продолжили сотрудничество, переформулировав на современном языке работы Ивана Петровского о пробелах Петровского в гиперболических дифференциальных уравнениях, по предложению Ларса Гардинга. В 1980-х годах Атия и Ботт исследовали теорию калибровки, используя уравнения Янга–Миллса на римановой поверхности для получения топологической информации о модульных пространствах стабильных расслоений на римановых поверхностях. В 1983 году он выступил перед Канадским математическим обществом с докладом под названием «Тополог удивляется физике». Он также известен в связи с теоремой Бореля–Ботта–Вейля о теории представлений групп Ли посредством голоморфных пучков и их когомологических групп, а также за работы по фолиациям. Вместе с Черном он работал над теорией Неванлинны, изучал голоморфные векторные расслоения над комплексными аналитическими многообразиями и ввел классы Черна Ботта, полезные в теории геометрии Аракелова, а также в алгебраической теории чисел. Он ввел многообразия Ботта–Самэльсона и формулу остатков Ботта для комплексных многообразий и канибалистический класс Ботта.

Bott later went to college at McGill University in Montreal, where he studied electrical engineering. He then earned a PhD in mathematics from Carnegie Mellon University in Pittsburgh in 1949. His thesis, titled Electrical Network Theory, was written under the direction of Richard Duffin. Afterward, he began teaching at the University of Michigan in Ann Arbor. Bott continued his study at the Institute for Advanced Study in Princeton. He was a professor at Harvard University from 1959 to 1999. In 2005 Bott died of cancer in San Diego. With Richard Duffin at Carnegie Mellon, Bott studied existence of electronic filters corresponding to given positive real functions. In 1949 they proved a fundamental theorem of filter synthesis. Duffin and Bott extended earlier work by Otto Brune that requisite functions of complex frequency s could be realized by a passive network of inductors and capacitors. The proof relied on induction on the sum of the degrees of the polynomials in the numerator and denominator of the rational function. In his 2000 interview with Allyn Jackson of the American Mathematical Society, he explained that he sees "networks as discrete versions of harmonic theory", so his experience with network synthesis and electronic filter topology introduced him to algebraic topology. Bott met Arnold S. Shapiro at the IAS and they worked together. He studied the homotopy theory of Lie groups, using methods from Morse theory, leading to the Bott periodicity theorem (1957). In the course of this work, he introduced Morse–Bott functions, an important generalization of Morse functions. This led to his role as collaborator over many years with Michael Atiyah, initially via the part played by periodicity in K theory. Bott made important contributions towards the index theorem, especially in formulating related fixed point theorems, in particular the so called 'Woods Hole fixed point theorem', a combination of the Riemann–Roch theorem and Lefschetz fixed point theorem (it is named after Woods Hole, Massachusetts, the site of a conference at which collective discussion formulated it). The major Atiyah–Bott papers on what is now the Atiyah–Bott fixed point theorem were written in the years up to 1968; they collaborated further in recovering in contemporary language Ivan Petrovsky on Petrovsky lacunas of hyperbolic partial differential equations, prompted by Lars Gårding. In the 1980s, Atiyah and Bott investigated gauge theory, using the Yang–Mills equations on a Riemann surface to obtain topological information about the moduli spaces of stable bundles on Riemann surfaces. In 1983 he spoke to the Canadian Mathematical Society in a talk he called "A topologist marvels at Physics". He is also well known in connection with the Borel–Bott–Weil theorem on representation theory of Lie groups via holomorphic sheaves and their cohomology groups; and for work on foliations. With Chern he worked on Nevanlinna theory, studied holomorphic vector bundles over complex analytic manifolds and introduced the Bott Chern classes, useful in the theory of Arakelov geometry and also to algebraic number theory. He introduced Bott–Samelson varieties and the Bott residue formula for complex manifolds and the Bott cannibalistic class.

Награды

В 1964 году он был удостоен премии Освальда Веблена по геометрии от Американского математического общества. В 1983 году он был удостоен премии Джеффри–Уильямса от Канадского математического общества. В 1987 году он был награжден Национальной медалью в области науки. В 2000 году он получил премию Вольфа. В 2005 году он был избран иностранным членом Лондонского королевского общества.

Студенты

У Ботта было 35 аспирантов, среди которых Стивен Смел, Лоуренс Конлон, Дэниел Куиллен, Питер Ландвебер, Роберт Макферсон, Роберт В. Брукс, Робин Форман, Рама Кочерлакота, Сьюзан Толман, Андраш Сценеш, Кевин Корлетт и Эрик Вайнштейн. Смел и Куиллен получили медали Филдса в 1966 и 1978 годах соответственно.

Публикации

1995: Сборник статей. Т. 4. Математика, связанная с физикой. Под редакцией Роберта Макферсона. Современные математики. Биркхаузер Бостон, xx+485 с. 1995: Сборник статей. Т. 3. Листовидное расслоение. Под редакцией Роберта Д. Макферсона. Современные математики. Birkhäuser, xxxii+610 с. 1994: Сборник статей. Т. 2. Дифференциальные операторы. Под редакцией Роберта Д. Макферсона. Современные математики. Birkhäuser, xxxiv+802 с. 1994: Сборник статей. Т. 1. Топология и группы Ли. Под редакцией Роберта Д. Макферсона. Современные математики. Биркхаузер, xii+584 с. 1982: (с Лорингом В. Ту) Дифференциальные формы в алгебраической топологии. Серия «Тексты по математике для выпускников» № 82. Springer Verlag, Нью-Йорк — Берлин. xiv+331 с. 1969: Лекции по K(X). Серия примечаний к лекциям по математике. W. A. Benjamin, Нью-Йорк — Амстердам. x+203 с.