Подобие матриц в линейной алгебре: определение, свойства и применение. Изменение базиса упрощает вид линейных преобразований. Ключевые понятия и примеры.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Эквивалентность при смене базиса (линейная алгебра)
Equivalence under a change of basis (linear algebra)
В линейной алгебре две квадратные матрицы размера n x n, A и B, называются подобными, если существует невырожденная (обратимая) матрица P размера n x n такая, что
In linear algebra, two n by n matrices A and B are called similar if there exists an invertible n by n matrix P such that
Подобные матрицы представляют одно и то же линейное отображение в двух (возможно) различных базисах, при этом P является матрицей перехода между базисами. Преобразование A ↦ P^(−1)AP называется преобразованием подобия или приведением матрицы A. В общей линейной группе подобие, следовательно, эквивалентно приведению, и подобные матрицы также называются сопряженными; однако, в заданной подгруппе H общей линейной группы понятие сопряженности может быть более строгим, чем подобие, поскольку оно требует, чтобы матрица P выбиралась из H.
Similar matrices represent the same linear map under two (possibly) different bases, with P being the change of basis matrix. A transformation A ↦ P^(−1)AP is called a similarity transformation or conjugation of the matrix A. In the general linear group, similarity is therefore the same as conjugacy, and similar matrices are also called conjugate; however, in a given subgroup H of the general linear group, the notion of conjugacy may be more restrictive than similarity, since it requires that P be chosen to lie in H.
Мотивирующий пример
При определении линейного преобразования может случиться так, что смена базиса приведет к более простой форме того же преобразования. Например, матрица, представляющая вращение в R³ при несовпадении оси вращения с координатной осью, может быть сложной для вычисления. Если бы ось вращения была совмещена с положительной осью z, то она была бы просто
When defining a linear transformation, it can be the case that a change of basis can result in a simpler form of the same transformation. For example, the matrix representing a rotation in 'R'^(3) when the axis of rotation is not aligned with the coordinate axis can be complicated to compute. If the axis of rotation were aligned with the positive z axis, then it would simply be
где – угол вращения. В новой системе координат преобразование записывается как
where is the angle of rotation. In the new coordinate system, the transformation would be written as
где x' и y' – соответственно исходный и преобразованный векторы в новом базисе, содержащем вектор, параллельный оси вращения. В исходном базисе преобразование записывается как
where x' and y' are respectively the original and transformed vectors in a new basis containing a vector parallel to the axis of rotation. In the original basis, the transform would be written as
где векторы x и y и неизвестная матрица преобразования T заданы в исходном базисе. Чтобы выразить T через более простую матрицу, мы используем матрицу смены базиса P, которая преобразует x и y следующим образом:
where vectors x and y and the unknown transform matrix T are in the original basis. To write T in terms of the simpler matrix, we use the change of basis matrix P that transforms x and y as and :
Таким образом, матрица в исходном базисе, , определяется как Преобразование в исходном базисе оказывается произведением трех легко выводимых матриц. По сути, преобразование подобия выполняется в три этапа: переход к новому базису (P), выполнение простого преобразования (S) и возврат к старому базису (P⁻¹).
Thus, the matrix in the original basis, , is given by The transform in the original basis is found to be the product of three easy to derive matrices. In effect, the similarity transform operates in three steps: change to a new basis (P), perform the simple transformation (S), and change back to the old basis (P^(−1)).
Общие ссылки
(Об этом сходстве упоминается во многих местах, начиная со страницы 44.)
(Similarity is discussed many places, starting at page 44.)