Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Негізді өзгерту кезіндегі эквиваленттілік (сызықтық алгебра)
Equivalence under a change of basis (linear algebra)
Сызықтық алгебрада екі n×n матрица A және B ұқсас деп аталады, егер кері өрнекті матрица P болса, онда
In linear algebra, two n by n matrices A and B are called similar if there exists an invertible n by n matrix P such that
Ұқсас матрицалар екі (мүмкін) әртүрлі негізде бірдей сызықтық түрлендіруді көрсетеді, ал P – негізді өзгерту матрицасы. A → P⁻¹AP түрлендіруі матрица A-ның ұқсастық түрлендіруі немесе конъюгациясы деп аталады. Жалпы сызықтық топта ұқсастық конъюгациямен бірдей, сондықтан ұқсас матрицалар да конъюгирленген деп аталады; алайда жалпы сызықтық топтың берілген H кіші тобында конъюгация ұғымы ұқсастыққа қарағанда тар болуы мүмкін, себебі P кіші топ H-ге тиесілі болуын талап етеді.
Similar matrices represent the same linear map under two (possibly) different bases, with P being the change of basis matrix. A transformation A ↦ P^(−1)AP is called a similarity transformation or conjugation of the matrix A. In the general linear group, similarity is therefore the same as conjugacy, and similar matrices are also called conjugate; however, in a given subgroup H of the general linear group, the notion of conjugacy may be more restrictive than similarity, since it requires that P be chosen to lie in H.
Көтермелі үлгі
Сызықтық түрлендіруді анықтағанда, негізді өзгерту сол түрлендірудің қарапайым түріне әкелуі мүмкін. Мысалы, айналу осі координаттар осімен сәйкес келмесе, "R"³ кеңістігіндегі айналуды көрсететін матрицаны есептеу қиын болуы мүмкін. Егер айналу осі оң z осімен сәйкес келсе, онда ол жай ғана былай жазылады:
When defining a linear transformation, it can be the case that a change of basis can result in a simpler form of the same transformation. For example, the matrix representing a rotation in 'R'^(3) when the axis of rotation is not aligned with the coordinate axis can be complicated to compute. If the axis of rotation were aligned with the positive z axis, then it would simply be
мұндағы – айналу бұрышы. Жаңа координаттар жүйесінде түрлендіру былай жазылады:
where is the angle of rotation. In the new coordinate system, the transformation would be written as
мұндағы x' және y' – сәйкесінше бастапқы және түрлендірілген векторлар, ал жаңа негіз айналу осіне параллель векторды қамтиды. Бастапқы негізде түрлендіру былай жазылады:
where x' and y' are respectively the original and transformed vectors in a new basis containing a vector parallel to the axis of rotation. In the original basis, the transform would be written as
мұндағы x және y векторлары және белгісіз түрлендіру матрицасы T бастапқы негізде берілген. T матрицасын қарапайым матрица түрінде жазу үшін, x және y векторларын түрлендіретін негізді өзгерту матрицасы P қолданылады:
where vectors x and y and the unknown transform matrix T are in the original basis. To write T in terms of the simpler matrix, we use the change of basis matrix P that transforms x and y as and :
Осылайша, бастапқы негіздегі матрица былай беріледі: . Бастапқы негіздегі түрлендіру үш қарапайым матрицаның көбейтіндісі болып табылады. Іс жүзінде, ұқсастық түрлендіру үш қадамда орындалады: жаңа негізге өту (P), қарапайым түрлендіруді орындау (S) және ескі негізге қайта оралу (P⁻¹).
Thus, the matrix in the original basis, , is given by The transform in the original basis is found to be the product of three easy to derive matrices. In effect, the similarity transform operates in three steps: change to a new basis (P), perform the simple transformation (S), and change back to the old basis (P^(−1)).
Жалпы сілтемелер
(Ұқсастық көп жерде талқыланады, 44-беттен басталады.)
(Similarity is discussed many places, starting at page 44.)