Введение

Все основания векторного пространства имеют одинаковое число элементов.
В математике теорема о размерности для векторных пространств утверждает, что все основания векторного пространства содержат одинаковое число элементов. Это число может быть конечным или бесконечным (в последнем случае это кардинальное число) и определяет размерность векторного пространства. Формально, теорема о размерности для векторных пространств гласит, что:

Поскольку основание является генерирующим множеством, которое линейно независимо, теорема о размерности является следствием следующей теоремы, которая также полезна:

В частности, если V конечно порождено, то все его основания конечны и имеют одинаковое число элементов. Доказательство существования основания для любого векторного пространства в общем случае требует леммы Зорна и фактически эквивалентно аксиоме выбора, тогда как единственность кардинальности основания требует лишь леммы об ультрафильтрах, которая строго слабее (приведенное ниже доказательство, однако, предполагает принцип трихотомии, то есть, что все кардинальные числа сопоставимы, утверждение, также эквивалентное аксиоме выбора). Теорему можно обобщить на произвольные R-модули для колец R, обладающих инвариантным числом оснований. В конечно порожденном случае доказательство использует только элементарные аргументы алгебры и не требует аксиомы выбора или её более слабых вариантов.

Теорема расширения ядра для векторных пространств

Это применение теоремы о размерности иногда само по себе называется теоремой о размерности. Пусть

— линейное преобразование. Тогда

, то есть размерность пространства U равна размерности образа преобразования плюс размерность ядра. Подробнее см. теорему о ранге и нуль-пространстве.