Введение

Эквивалентный класс объектов, обладающих общими локальными свойствами в точке топологического пространства. В математике понятие зародыша объекта в/на топологическом пространстве представляет собой эквивалентный класс этого объекта и других объектов того же типа, который отражает их общие локальные свойства. В частности, рассматриваемые объекты чаще всего являются функциями (или отображениями) и подмножествами. В конкретных реализациях этой идеи функции или подмножества могут обладать некоторым свойством, например, быть аналитическими или гладкими, но в общем случае это не требуется (рассматриваемые функции даже не обязательно должны быть непрерывными); однако необходимо, чтобы пространство, в/на котором объект определен, было топологическим пространством, чтобы понятие "локальный" имело смысл.

Имя

Название происходит от зародыша зерна, в продолжение метафоры о снопе, так как зародыш является (локально) "сердцем" функции, подобно тому, как это "сердце" зерна.

Основные свойства

Если f и g являются эквивалентными зародышами в x, то они обладают всеми локальными свойствами, такими как непрерывность, дифференцируемость и т.д., поэтому имеет смысл говорить о дифференцируемом или аналитическом зародыше и т.д. Аналогично для подмножеств: если один представитель зародыша является аналитическим множеством, то все представители таковыми являются, по крайней мере, в некоторой окрестности x. Алгебраические структуры на целевом пространстве Y наследуются множеством зародышей со значениями в Y. Например, если Y – группа, то имеет смысл умножать зародыши: чтобы определить [f]x[g]x, сначала выберем представителей f и g, определенных соответственно на окрестностях U и V, и определим [f]x[g]x как зародыш в x точечного произведения fg (которое определено на U ∩ V). Точно так же, если Y – абелева группа, векторное пространство или кольцо, то множество зародышей также обладает структурой абелевой группы, векторного пространства или кольца соответственно. Множество зародышей в x отображений из X в Y не имеет полезной топологии, за исключением дискретной. Поэтому говорить о сходящейся последовательности зародышей не имеет особого смысла. Однако, если X и Y – многообразия, то пространства касательных векторов (конечного порядка разложения в ряд Тейлора в x отображений, представленных зародышами) действительно имеют топологии, поскольку их можно отождествить с конечномерными векторными пространствами.

Отношение к снопам

Идея зародышей лежит в основе определения снопов и предснопов. Предсноп абелевых групп на топологическом пространстве X сопоставляет абелеву группу каждому открытому множеству U в X. Типичными примерами абелевых групп здесь являются: вещественнозначные функции на U, дифференциальные формы на U, векторные поля на U, голоморфные функции на U (когда X является комплексным многообразием), постоянные функции на U и дифференциальные операторы на U. Если U ⊆ V, то существует карта ограничения resV,U, удовлетворяющая определенным условиям совместимости. Для фиксированной точки x говорят, что элементы f и g эквивалентны в x, если существует окрестность W точки x такая, что resW,U(f) = resW,V(g) (оба элемента из F(W)). Классы эквивалентности образуют стебель Fx предснопа F в точке x. Это отношение эквивалентности является абстракцией эквивалентности зародышей, описанной выше. Интерпретация зародышей через снопы также дает общее объяснение наличия алгебраических структур на множествах зародышей. Причина в том, что построение стеблей сохраняет конечные пределы. Это означает, что если T — теория Лоувера, а сноп F — T-алгебра, то любой стебель Fx также является T-алгеброй.

Приложения

Ключевое слово в применении за́родышей – лока́льность: все лока́льные свойства функции в точке могут быть изучены путём анализа её за́родыша. Они являются обобщением ряда Тейлора, и действительно, ряд Тейлора за́родыша (дифференцируемой функции) определён: для вычисления производных требуется только локальная информация. За́родыши полезны для определения свойств динамических систем вблизи выбранных точек их фазового пространства: они являются одним из основных инструментов в теории сингулярностей и теории катастроф. Когда рассматриваемые топологические пространства являются поверхностями Римана или, в более общем случае, комплексными аналитическими многообразиями, за́родыши голоморфных функций на них можно рассматривать как степенные ряды, и, таким образом, множество за́родышей можно считать аналитическим продолжением аналитической функции. За́родыши также могут использоваться в определении тангенциальных векторов в дифференциальной геометрии. Тангенциальный вектор можно рассматривать как точечное дифференцирование на алгебре за́родышей в этой точке.

Алгебраические свойства

Как отмечалось ранее, множества зародышей могут иметь алгебраические структуры, такие как кольца. Во многих ситуациях кольца зародышей не являются произвольными кольцами, а обладают довольно специфическими свойствами. Предположим, что X – это пространство какого-либо типа. Часто бывает так, что для каждого x ∈ X кольцо зародышей функций в точке x является локальным кольцом. Это справедливо, например, для непрерывных функций на топологическом пространстве; для функций, дифференцируемых k раз, гладких или аналитических функций на вещественном многообразии (когда такие функции определены); для голоморфных функций на комплексном многообразии; и для регулярных функций на алгебраическом многообразии. Свойство, что кольца зародышей являются локальными кольцами, аксиоматизируется теорией локально кольцевых пространств. Однако типы локальных колец, которые возникают, тесно зависят от рассматриваемой теории. Теорема Вейерштрасса о подготовке подразумевает, что кольца зародышей голоморфных функций являются нётеровыми кольцами. Также можно показать, что это регулярные кольца. С другой стороны, пусть – кольцо зародышей в начале координат гладких функций на R. Это кольцо локально, но не нётерово. Чтобы понять почему, заметим, что максимальный идеал m этого кольца состоит из всех зародышей, обращающихся в нуль в начале координат, а степень mk состоит из тех зародышей, первые k − 1 производных которых обращаются в нуль. Если бы это кольцо было нётеровым, то теорема Крулла о пересечении подразумевала бы, что гладкая функция, чей ряд Тейлора обращается в нуль, была бы нулевой функцией. Но это неверно, как можно увидеть, рассмотрев.

Это кольцо также не является областью однозначной факторизации. Это связано с тем, что все областей однозначной факторизации удовлетворяют условию восходящей цепи на главных идеалах, но существует бесконечная восходящая цепь главных идеалов.

Включения строгие, поскольку x принадлежит максимальному идеалу m.

Кольцо зародышей в начале координат непрерывных функций на R даже обладает свойством, что его максимальный идеал m удовлетворяет m² = m. Любой зародыш f ∈ m можно записать как,

где sgn – функция знака. Поскольку |f| обращается в нуль в начале координат, это выражает f как произведение двух функций из m, откуда и следует вывод. Это связано с постановкой теории почти колец.