Введение

Направленный граф, который также является мультиграфом.

В математике, особенно в теории представлений, перо — это другое название мультиграфа; то есть, направленный граф, в котором допускаются петли и множественные ребра между двумя вершинами. Пера обычно используются в теории представлений: представление V пера присваивает векторное пространство V(x) каждой вершине x пера и линейное отображение V(a) каждому ребру a. В теории категорий перо можно понимать как базовую структуру категории, но без композиции или обозначения тождественных морфизмов. То есть существует забывающий функтор из 'Cat' (категория категорий) в 'Quiv' (категория мультиграфов). Его левый сопряженный — свободный функтор, который по перу строит соответствующую свободную категорию.

Изображения колыбелей

Представление quiver Q – это сопоставление R-модуля каждой вершине Q и морфизма между каждым модулем для каждой стрелки. Представление V quiver Q называется тривиальным, если для всех вершин x в Q. Морфизм f: V → V', между представлениями quiver Q, – это набор линейных отображений f(x): V(x) → V'(x) таких, что для каждой стрелки a в Q из x в y, то есть квадраты, которые f образует со стрелками V и V', все коммутативны. Морфизм f является изоморфизмом, если f(x) обратим для всех вершин x в quiver. С этими определениями представления quiver образуют категорию. Если V и W – представления quiver Q, то прямая сумма этих представлений определяется как для всех вершин x в Q, а является прямой суммой линейных отображений V(a) и W(a). Представление считается разложимым, если оно изоморфно прямой сумме ненулевых представлений. Категорическое определение представления quiver также может быть дано. Сам quiver можно рассматривать как категорию, где вершины – это объекты, а пути – морфизмы. Тогда представление Q – это просто ковариантный функтор из этой категории в категорию конечномерных векторных пространств. Морфизмы представлений Q – это как раз естественные преобразования между соответствующими функторами. Для конечного quiver Γ (quiver с конечным числом вершин и ребер) пусть KΓ будет его алгеброй путей. Пусть ei обозначает тривиальный путь в вершине i. Тогда мы можем сопоставить вершине i проективный KΓ-модуль KΓei, состоящий из линейных комбинаций путей, имеющих начальную вершину i. Это соответствует представлению Γ, полученному путем размещения копии K на каждой вершине, лежащей на пути, начинающемся с i, и 0 на каждой другой вершине. Каждому ребру, соединяющему две копии K, мы приписываем тождественное отображение. Эта теория была связана с кластерными алгебрами Дерксеном, Вейманом и Зелевинским.

Разнообразие вибрации

Учитывая размерности векторных пространств, приписанных каждой вершине, можно построить многообразие, характеризующее все представления данного кивера с заданными размерностями, и рассмотреть условия устойчивости. Эти условия дают многообразия киверов, построенные [имя автора].

Теорема Габриэля

Опустевание является конечного типа, если оно имеет лишь конечное число классов изоморфизма неразложимых представлений. Все опустевания конечного типа, а также их неразложимые представления были классифицированы. Более точно, теорема Габриэля утверждает, что: (связное) опустевание является конечного типа тогда и только тогда, когда его базовый граф (при игнорировании направлений стрелок) является одной из диаграмм АДЭ Динкина: An, Dn, E6, E7, E8. Неразложимые представления находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными корнями корневой системы диаграммы Динкина. Было найдено обобщение теоремы Габриэля, в котором встречаются все диаграммы Динкина конечномерных полупростых алгебр Ли. Это было обобщено на все опустевания и их соответствующие алгебры Каца — Муди Виктором Кацем.