Введение
Полином с одним членом
In mathematics, a monomial is, roughly speaking, a polynomial which has only one term. Two definitions of a monomial may be encountered:
A monomial, also called power product, is a product of powers of variables with nonnegative integer exponents, or, in other words, a product of variables, possibly with repetitions. For example, is a monomial. The constant is a monomial, being equal to the empty product and to for any variable If only a single variable is considered, this means that a monomial is either or a power of , with a positive integer. If several variables are considered, say, then each can be given an exponent, so that any monomial is of the form with non negative integers (taking note that any exponent makes the corresponding factor equal to ). A monomial is a monomial in the first sense multiplied by a nonzero constant, called the coefficient of the monomial. A monomial in the first sense is a special case of a monomial in the second sense, where the coefficient is For example, in this interpretation and are monomials (in the second example, the variables are and the coefficient is a complex number). In the context of Laurent polynomials and Laurent series, the exponents of a monomial may be negative, and in the context of Puiseux series, the exponents may be rational numbers. Since the word "monomial", as well as the word "polynomial", comes from the late Latin word "binomium" (binomial), by changing the prefix "bi " (two in Latin), a monomial should theoretically be called a "mononomial". "Monomial" is a syncope by haplology of "mononomial".
В математике моно́м – это, грубо говоря, полином, который имеет только один член. Существует два определения моно́ма:
In mathematics, a monomial is, roughly speaking, a polynomial which has only one term. Two definitions of a monomial may be encountered:
A monomial, also called power product, is a product of powers of variables with nonnegative integer exponents, or, in other words, a product of variables, possibly with repetitions. For example, is a monomial. The constant is a monomial, being equal to the empty product and to for any variable If only a single variable is considered, this means that a monomial is either or a power of , with a positive integer. If several variables are considered, say, then each can be given an exponent, so that any monomial is of the form with non negative integers (taking note that any exponent makes the corresponding factor equal to ). A monomial is a monomial in the first sense multiplied by a nonzero constant, called the coefficient of the monomial. A monomial in the first sense is a special case of a monomial in the second sense, where the coefficient is For example, in this interpretation and are monomials (in the second example, the variables are and the coefficient is a complex number). In the context of Laurent polynomials and Laurent series, the exponents of a monomial may be negative, and in the context of Puiseux series, the exponents may be rational numbers. Since the word "monomial", as well as the word "polynomial", comes from the late Latin word "binomium" (binomial), by changing the prefix "bi " (two in Latin), a monomial should theoretically be called a "mononomial". "Monomial" is a syncope by haplology of "mononomial".
Моно́м, также называемый произведением степеней, является произведением степеней переменных с неотрицательными целыми показателями, или, другими словами, произведением переменных, возможно, с повторениями. Например, является моно́мом. Константа является моно́мом, поскольку она равна пустому произведению и равна для любой переменной. Если рассматривается только одна переменная , это означает, что моно́м является либо , либо степенью , где – положительное целое число. Если рассматривается несколько переменных, скажем, , то каждой можно присвоить показатель степени, так что любой моно́м имеет вид , где – неотрицательные целые числа (при этом любой показатель делает соответствующий множитель равным 1). Моно́м – это моно́м в первом смысле, умноженный на ненулевую константу, называемую коэффициентом моно́ма. Моно́м в первом смысле является частным случаем моно́ма во втором смысле, где коэффициент равен 1. Например, в этой интерпретации и являются моно́мами (во втором примере переменные и , а коэффициент – комплексное число). В контексте полиномов Лорана и рядов Лорана показатели моно́ма могут быть отрицательными, а в контексте рядов Пюизе показатели могут быть рациональными числами. Поскольку слово "моно́м", как и слово "полином", происходит от позднего латинского слова "binomium" (бином), изменяя приставку "bi" (два на латыни), моно́м теоретически должен называться "монономиа́льным". "Моно́м" – это синкопа по гаплологии от "монономиа́льного".
In mathematics, a monomial is, roughly speaking, a polynomial which has only one term. Two definitions of a monomial may be encountered:
A monomial, also called power product, is a product of powers of variables with nonnegative integer exponents, or, in other words, a product of variables, possibly with repetitions. For example, is a monomial. The constant is a monomial, being equal to the empty product and to for any variable If only a single variable is considered, this means that a monomial is either or a power of , with a positive integer. If several variables are considered, say, then each can be given an exponent, so that any monomial is of the form with non negative integers (taking note that any exponent makes the corresponding factor equal to ). A monomial is a monomial in the first sense multiplied by a nonzero constant, called the coefficient of the monomial. A monomial in the first sense is a special case of a monomial in the second sense, where the coefficient is For example, in this interpretation and are monomials (in the second example, the variables are and the coefficient is a complex number). In the context of Laurent polynomials and Laurent series, the exponents of a monomial may be negative, and in the context of Puiseux series, the exponents may be rational numbers. Since the word "monomial", as well as the word "polynomial", comes from the late Latin word "binomium" (binomial), by changing the prefix "bi " (two in Latin), a monomial should theoretically be called a "mononomial". "Monomial" is a syncope by haplology of "mononomial".
Сравнение двух определений
При любом из этих определений множество мономов является подмножеством всех многочленов, замкнутым относительно умножения. Оба варианта использования этого понятия встречаются, и во многих случаях различие между ними просто игнорируется, например, в примерах, иллюстрирующих оба значения. В неформальных обсуждениях это различие редко имеет значение, и наблюдается тенденция к более широкому, второму значению. Однако при изучении структуры многочленов часто необходимо чётко использовать понятие в первом смысле. Это, например, происходит при рассмотрении мономиального базиса кольца многочленов или мономиального порядка на этом базисе. В пользу первого определения также говорит то, что нет другого очевидного термина для обозначения этих выражений (используется термин "произведение степеней", особенно когда "моном" используется в первом смысле, но он также не указывает на отсутствие констант), в то время как термин "член многочлена" однозначно соответствует второму значению "монома". В дальнейшем в этой статье под "мономом" подразумевается определение в первом смысле.
Мономиальная основа
Самый очевидный факт о мономах (в первом значении) заключается в том, что любой многочлен является линейной комбинацией мономов, поэтому они образуют базис векторного пространства всех многочленов, называемого мономиальным базисом – факт, который постоянно и неявно используется в математике.
Степень
Степень монома определяется как сумма всех показателей переменных, включая неявные показатели 1 для переменных, которые встречаются без показателя; например, в примере из предыдущего раздела степень равна 1 + 1 + 2 = 4. Степень ненулевой константы равна 0. Например, степень −7 равна 0. Степень монома иногда называют порядком, особенно в контексте рядов. Она также называется полной степенью, когда необходимо отличать её от степени относительно одной из переменных. Степень монома является фундаментальной для теории унивариантных и мультивариантных полиномов. Явно она используется для определения степени полинома и понятия однородного полинома, а также для градуированных мономиальных упорядочений, применяемых при формулировании и вычислении базисов Грёбнера. Неявно она используется при группировке членов ряда Тейлора для нескольких переменных.
Геометрия
В алгебраической геометрии многообразия, определяемые мономиальными уравнениями для некоторого множества α, обладают особыми свойствами однородности. Это можно выразить на языке алгебраических групп, в терминах существования группового действия алгебраического тора (эквивалентно, действия мультипликативной группы диагональных матриц). Эта область исследуется под названием вложений тора.