Введение

Теория представлений групп
регулярные неприводимые представления конечной группы
В математике, и в частности в теории представлений групп, регулярное представление группы G — это линейное представление, определяемое действием группы G на себя посредством сдвига. Различают левое регулярное представление λ, задаваемое левым сдвигом, и правое регулярное представление ρ, задаваемое обратным к правому сдвигу.

Значение регулярного представительства группы

Каждая группа G действует на себя посредством сдвигов. Если рассматривать это действие как перестановческое представление, оно характеризуется наличием единственной орбиты и стабилизатора, состоящего из единичного элемента {e} группы G. Регулярное представление G для заданного поля K – это линейное представление, построенное на основе этого перестановческого представления как множества базисных векторов векторного пространства над K. Существенно, что, хотя перестановческое представление не разлагается – оно транзитивно – регулярное представление в общем случае распадается на меньшие представления. Например, если G – конечная группа, а K – поле комплексных чисел, то регулярное представление раскладывается в прямую сумму неприводимых представлений, причем каждое неприводимое представление входит в разложение с кратностью, равной его размерности. Число этих неприводимых представлений равно числу классов сопряженности в G.

Этот факт можно объяснить теорией характеров. Вспомним, что характер регулярного представления χ(g) – это число неподвижных точек g при действии на регулярное представление V. Это означает, что число неподвижных точек χ(g) равно нулю, если g не является единичным элементом, и |G| в противном случае. Пусть V имеет разложение ⊕aiVi, где Vi – неприводимые представления G, а ai – соответствующие кратности. Согласно теории характеров, кратность ai вычисляется как

, что означает, что кратность каждого неприводимого представления равна его размерности. В статье о групповых кольцах излагается регулярное представление для конечных групп, а также показывается, как регулярное представление можно рассматривать как модуль.

Модульная теория

Чтобы выразить конструкцию более абстрактно, групповое кольцо K[G] рассматривается как модуль над собой. (Здесь есть выбор левого или правого действия, но это не имеет значения, за исключением обозначений.) Если G конечно и характеристика поля K не делит порядок группы G, то это полупростое кольцо, и мы рассматриваем его левые (правые) кольцевые идеалы. Эта теория была изучена очень глубоко. Известно, в частности, что прямое разложение регулярного представления содержит представителя каждого класса изоморфизма неприводимых линейных представлений G над K. В этом случае можно сказать, что регулярное представление является всеобъемлющим для теории представлений. Модульный случай, когда характеристика поля K делит порядок группы G, сложнее, главным образом потому, что при не полупростости K[G] представление может оказаться приводимым, не распадаясь при этом на прямую сумму.

Топологический случай группы

Для топологической группы G регулярное представление в указанном выше смысле следует заменить подходящим пространством функций на G, с действием G посредством сдвигов. См. теорему Питера — Вейля для компактного случая. Если G — группа Ли, но не компактная и не абелева, это сложная задача гармонического анализа. Локально компактный абелев случай является частью теории двойственности Понтрягина.

Нормальные основы в теории Галуа

В теории Галуа показано, что для поля L и конечной группы G автоморфизмов L, фиксированное поле K группы G имеет [L:K] = |G|. Более того, можно сказать следующее: L, рассматриваемое как модуль над K[G], является регулярным представлением. Это содержание теоремы о нормальном базисе, где нормальный базис – это элемент x из L, такой что g(x) для всех g из G образуют базис векторного пространства L над K. Такие x существуют, и каждый из них задает K[G]-изоморфизм из L в K[G]. С точки зрения алгебраической теории чисел интересно изучать нормальные интегральные базисы, заменяя L и K кольцами алгебраических целых, которые они содержат. Уже на примере гауссовых целых чисел можно увидеть, что такие базисы могут не существовать: a + bi и a − bi никогда не могут образовать базис Z-модуля в Z[i], поскольку 1 нельзя представить в виде целочисленной линейной комбинации. Причины этого подробно изучаются в теории модулей Галуа.

Более общие алгебры

Регулярное представление группового кольца устроено таким образом, что левое и правое регулярные представления дают изоморфные модули (и часто нет необходимости различать эти случаи). Для алгебры A над полем сразу не имеет смысла рассматривать связь между A как левым модулем над собой и как правым модулем. В случае группы, отображение на базисных элементах g из K[G], заданное взятием обратного элемента, дает изоморфизм K[G] в его противоположное кольцо. В общем случае, такая структура называется алгеброй Фробениуса. Как следует из названия, они были введены Фробениусом в девятнадцатом веке. Было показано, что они связаны с топологической квантовой теорией поля в 1+1 измерениях посредством частного случая гипотезы кобордизма.