Введение

В математике, основное однородное пространство, или торсор, для группы G — это однородное пространство X для G, в котором подгруппа стабилизатора каждой точки тривиальна. Эквивалентно, основное однородное пространство для группы G — это непустое множество X, на котором G действует свободно и транзитивно (то есть для любых x, y из X существует единственное g из G, такое что x·g = y, где · обозначает (правое) действие G на X). Аналогичное определение применимо и в других категориях, например, когда G — топологическая группа, X — топологическое пространство и действие непрерывно, G — группа Ли, X — гладкое многообразие и действие гладкое, G — алгебраическая группа, X — алгебраическое многообразие и действие регулярно.

Примеры

Каждая группа G может сама рассматриваться как левый или правый G-торсор при естественном действии левого или правого умножения. Другой пример – концепция аффинного пространства: идею аффинного пространства A, лежащего в основе векторного пространства V, можно кратко выразить, сказав, что A является главным однородным пространством для V, действующего как аддитивная группа сдвигов. Флаги любого правильного политопа образуют торсор для его группы симметрий. Если дано векторное пространство V, можно принять G за общую линейную группу GL(V), а X – за множество всех (упорядоченных) базисов V. Тогда G действует на X так же, как он действует на векторы V, и действует транзитивно, поскольку любой базис можно преобразовать посредством G в любой другой. Более того, линейное преобразование, фиксирующее каждый вектор базиса, фиксирует все векторы v в V и, следовательно, является нейтральным элементом общей линейной группы GL(V), таким образом, X действительно является главным однородным пространством. Один из способов отслеживать зависимость от базиса в аргументе линейной алгебры – отслеживать переменные x в X. Аналогично, пространство ортонормальных базисов (многообразие Стифеля из n кадров) является главным однородным пространством для ортогональной группы. В теории категорий, если два объекта X и Y изоморфны, то изморфизмы между ними, Iso(X,Y), образуют торсор для группы автоморфизмов X, Aut(X), и аналогично для Aut(Y); выбор изоморфизма между объектами порождает изоморфизм между этими группами и отождествляет торсор с этими двумя группами, наделяя торсор групповой структурой (поскольку теперь у него есть базовая точка).

Приложения

Концепция основного однородного пространства является частным случаем понятия основного расслоения: это означает основное расслоение с базой, состоящей из одной точки. Иными словами, локальная теория основных расслоений — это теория семейства основных однородных пространств, зависящих от некоторых параметров в базе. "Начало отсчета" может быть задано сечением расслоения — такие сечения обычно предполагаются существующими локально на базе — при этом расслоение локально тривиально, так что локальная структура имеет вид декартова произведения. Однако глобально сечения часто не существуют. Например, дифференциальное многообразие M имеет основное расслоение кадров, ассоциированное с его касательным расслоением. Глобальное сечение будет существовать (по определению) только тогда, когда M параллелизуемо, что накладывает сильные топологические ограничения. В теории чисел существует (кажущаяся отличной) причина рассматривать основные однородные пространства для эллиптических кривых E, определенных над полем K (и более общих абелевых многообразий). После того как это было осознано, были собраны различные другие примеры под этой общей темой для других алгебраических групп: квадратичные формы для ортогональных групп и многообразия Севери — Брауэра для проективных линейных групп — вот два примера. Интерес к диофантовым уравнениям в случае эллиптической кривой обусловлен тем, что K может быть не алгебраически замкнутым. Могут существовать кривые C, не имеющие точек, определенных над K, но изоморфные над большим полем к E, которое по определению имеет точку над K, служащую нейтральным элементом для операции сложения. То есть, в этом случае следует различать кривые C рода 1 и эллиптические кривые E, имеющие K-рациональную точку (или, другими словами, представляющие диофантово уравнение, имеющее решение в K). Кривые C оказываются торсорами над E и образуют множество, обладающее богатой структурой в случае, когда K является числовым полем (теория группы Зельмера). Фактически, типичная плоская кубическая кривая C над Q не имеет оснований для наличия рациональной точки; стандартная модель Вейерштрасса всегда имеет такую точку, а именно точку на бесконечности, но для приведения C к этой форме над K требуется точка над K. Эта теория была разработана с большим вниманием к локальному анализу, что привело к определению группы Тате — Шафаревича. В целом, подход, заключающийся в использовании теории торсоров, простой над алгебраически замкнутым полем, и попытке вернуться "вниз" к меньшему полю, является аспектом спуска. Это сразу же приводит к вопросам кохомологии Галуа, поскольку торсоры представляют собой классы в групповой кохомологии H1.