Введение
Квантовая теория поля, обладающая конформной симметрией. Конформная теория поля (CFT) — это квантовая теория поля, инвариантная относительно конформных преобразований. В двух измерениях существует бесконечномерная алгебра локальных конформных преобразований, и конформные теории поля иногда могут быть точно решены или классифицированы. Конформная теория поля имеет важное применение в физике конденсированного состояния, статистической механике, квантовой статистической механике и теории струн. Статистические и системы конденсированного вещества часто демонстрируют конформную инвариантность в своих термодинамических или квантовых критических точках.
A conformal field theory (CFT) is a quantum field theory that is invariant under conformal transformations. In two dimensions, there is an infinite dimensional algebra of local conformal transformations, and conformal field theories can sometimes be exactly solved or classified. Conformal field theory has important applications to condensed matter physics, statistical mechanics, quantum statistical mechanics, and string theory. Statistical and condensed matter systems are indeed often conformally invariant at their thermodynamic or quantum critical points.
Инвариантность масштаба против конформной инвариантности
В квантовой теории поля инвариантность масштаба является обычной и естественной симметрией, поскольку любая фиксированная точка группы перенормировки по определению является масштабно-инвариантной. Конформная симметрия строже, чем инвариантность масштаба, и требует дополнительных допущений. По этой причине эти термины часто используются как взаимозаменяемые в контексте квантовой теории поля.
Два измерения против более высоких измерений
Количество независимых конформных преобразований бесконечно в двух измерениях и конечно в более высоких измерениях. Это делает конформную симметрию гораздо более строгой в двух измерениях. Все конформные теории поля используют общие идеи и методы конформного бутстрапа. Однако полученные уравнения более эффективны в двух измерениях, где они иногда могут быть решены точно (например, для минимальных моделей), в отличие от более высоких измерений, где преобладают численные методы. Развитие конформной теории поля было более ранним и глубоким в двухмерном случае, особенно после статьи 1983 года Белавина, Полякова и Замолодчикова. Термин «конформная теория поля» иногда используется для обозначения двумерной конформной теории поля, как, например, в названии учебника 1997 года. Конформные теории поля в более высоких измерениях стали более популярными благодаря соответствию AdS/CFT в конце 1990-х годов и развитию численных методов конформного бутстрапа в 2000-х годах.
Теории конформного калибра
Некоторые конформные теории поля в трех и четырех измерениях допускают лагранжианское описание в виде калибровочной теории, будь то абелева или неабелева. Примерами таких КТП являются конформная КЭД с достаточным количеством заряженных полей или фиксированная точка Бэнкса-Закса.
Непрерывные фазовые переходы
Непрерывные фазовые переходы (критические точки) классических систем статистической физики с D пространственными измерениями часто описываются евклидовыми конформными теориями поля. Необходимым условием для этого является инвариантность критической точки относительно пространственных вращений и сдвигов. Однако этого условия недостаточно: некоторые исключительные критические точки описываются теориями, инвариантными относительно масштабирования, но не конформно инвариантными. Если классическая система статистической физики является положительно определенной относительно отражений, то соответствующая евклидова конформная теория поля, описывающая ее критическую точку, будет унитарной. Непрерывные квантовые фазовые переходы в системах конденсированного состояния с D пространственными измерениями могут быть описаны лоренцевыми конформными теориями поля размерности D+1 (связанными вращением Вика с евклидовыми конформными теориями поля в D+1 измерениях). Помимо инвариантности относительно сдвигов и вращений, дополнительным необходимым условием для этого является равенство динамического критического показателя z единице. Конформные теории поля, описывающие такие квантовые фазовые переходы (в отсутствие замороженных дефектов), всегда унитарны.
Теория струн
Описание теории струн включает двумерную конформную теорию поля, связанную с динамической двумерной квантовой гравитацией (или супергравитацией, в случае теории суперструн). Согласованность моделей теории струн накладывает ограничения на центральный заряд этой конформной теории поля, который должен быть равен c=26 в теории бозонных струн и c=10 в теории суперструн. Координаты пространства-времени, в котором существует теория струн, соответствуют бозонным полям этой конформной теории поля.
Переписка AdS/CFT
Конформные теории поля играют важную роль в соответствии AdS/CFT, в котором гравитационная теория в пространстве анти-де-Ситтера (AdS) эквивалентна конформной теории поля на границе AdS. Заметными примерами являются d = 4, N = 4 сверхсимметричная теория Янга — Милля, которая дуальна теории струн типа IIB на AdS5 × S5, и d = 3, N = 6 сверхтеория Черна — Саймонса, которая дуальна M-теории на AdS4 × S7. (Префикс "сверх" обозначает сверхсимметрию, N обозначает степень расширенной сверхсимметрии, которой обладает теория, а d — число пространственно-временных измерений на границе.)