Введение

В математике, количественная мера формы множества точек. В математике, моменты функции – это определенные количественные характеристики, связанные с формой графика функции. Если функция представляет плотность массы, то нулевой момент – это полная масса, первый момент (нормализованный на полную массу) – центр масс, а второй момент – момент инерции. Если функция является распределением вероятностей, то первый момент – это математическое ожидание, второй центральный момент – дисперсия, третий стандартизированный момент – асимметрия, а четвертый стандартизированный момент – эксцесс. Математическая концепция тесно связана с понятием момента в физике. Для распределения массы или вероятности на ограниченном интервале, совокупность всех моментов (всех порядков, от 0 до ∞) однозначно определяет распределение (задача моментов Хаусдорфа). Это неверно для неограниченных интервалов (задача моментов Гамбургера). В середине девятнадцатого века Пафнутий Чебышев впервые стал систематически рассматривать моменты случайных величин.

Расхождение

Второй центральный момент — это дисперсия. Положительный квадратный корень из дисперсии — это стандартное отклонение.

Наклонность

Третий центральный момент является мерой асимметрии распределения; любое симметричное распределение будет иметь третий центральный момент, если он определен, равный нулю. Нормализованный третий центральный момент называется коэффициентом асимметрии, часто обозначаемым γ. Распределение, скошенное влево (хвост распределения длиннее слева), будет иметь отрицательный коэффициент асимметрии. Распределение, скошенное вправо (хвост распределения длиннее справа), будет иметь положительный коэффициент асимметрии. Для распределений, не слишком отличающихся от нормального распределения, медиана будет находиться примерно в точке μ − γσ/6, а мода – около μ − γσ/2.

Куртоз

Четвертый центральный момент является мерой тяжести хвостов распределения. Поскольку он представляет собой математическое ожидание четвертой степени, четвертый центральный момент, где он определен, всегда неотрицателен; и за исключением дискретного (точечного) распределения, он всегда строго положителен. Четвертый центральный момент нормального распределения равен 3σ⁴. Куртозис κ определяется как стандартизированный четвертый центральный момент. (Эквивалентно, как указано в следующем разделе, избыточный куртозис – это четвертый кумулянт, деленный на квадрат второго кумулянта.) Если у распределения тяжелые хвосты, куртозис будет высоким (иногда называемый лептокуртическим); наоборот, распределения с легкими хвостами (например, ограниченные распределения, такие как равномерное) имеют низкий куртозис (иногда называемый платикуртическим). Куртозис может быть положительным без ограничений, но κ должно быть больше или равно γ² + 1; равенство достигается только для бинарных распределений. Для неограниченных асимметричных распределений, не слишком отличающихся от нормальных, κ обычно находится в диапазоне от γ² до 2γ². Это неравенство можно доказать, рассмотрев случай, когда 1 = T = (X − μ)/σ. Это математическое ожидание квадрата, следовательно, оно неотрицательно для всех значений a; однако это также квадратичный многочлен относительно a. Его дискриминант должен быть неположительным, что и дает требуемое соотношение.

Высшие моменты

Моменты высшего порядка – это моменты, порядок которых превышает четвертый. Как и дисперсия, асимметрия и эксцесс, это статистики более высокого порядка, включающие нелинейные комбинации данных, и могут использоваться для описания или оценки дополнительных параметров формы. Чем выше порядок момента, тем сложнее его оценить, поскольку для получения оценок сопоставимого качества требуются более крупные выборки. Это связано с тем, что высшие порядки потребляют больше степеней свободы. Кроме того, их интерпретация может быть непростой, и часто их легче понять, исходя из моментов более низкого порядка – сравните производные высшего порядка рывка и толчка в физике. Например, подобно тому, как момент четвертого порядка (эксцесс) можно интерпретировать как «относительную значимость хвостов по сравнению с плечами в формировании разброса» (при заданном разбросе, более высокий эксцесс соответствует более толстым хвостам, а более низкий – более широким плечам), момент пятого порядка можно интерпретировать как меру «относительной значимости хвостов по сравнению с центром (модой и плечами) в формировании асимметрии» (при заданной асимметрии, более высокий момент пятого порядка соответствует большей асимметрии в хвостовой части и незначительной асимметрии моды, а более низкий момент пятого порядка – большей асимметрии в плечах).

Смешанные моменты

Смешанные моменты — это моменты, включающие несколько переменных. Значение называется моментом порядка (моменты также определены и для нецелых значений). Моменты совместного распределения случайных величин определяются аналогичным образом. Для любых целых чисел математическое ожидание называется смешанным моментом порядка (где ), а — центральным смешанным моментом порядка. Смешанный момент называется ковариацией и является одной из основных характеристик зависимости между случайными величинами. Примерами служат ковариация, кососимметрия и коэксцесс. Хотя ковариация единственна, существует множество кососимметрий и коэксцессов.

Проблема мгновений

Проблемы определения распределения вероятности по последовательности моментов называются проблемой моментов. Такие проблемы впервые были рассмотрены П. Л. Чебышевым (1874) в связи с исследованиями предельных теорем. Для того чтобы распределение вероятности случайной величины было однозначно определено своими моментами, достаточно, например, выполнения условия Карлемана: аналогичный результат справедлив и для моментов случайных векторов. Проблема моментов заключается в поиске характеристик последовательностей, являющихся последовательностями моментов некоторой функции f, все моменты которой конечны, и для каждого целого числа n пусть

где конечна. Тогда существует последовательность, слабо сходящаяся к функции распределения, имеющей в качестве своих моментов. Если моменты определяют однозначно, то последовательность слабо сходится к .

Частичные моменты

Частичные моменты иногда называют "односторонними моментами". Частичные моменты n-го порядка (нижние и верхние) относительно точки отсчета r могут быть выражены следующим образом:

Если интеграл не сходится, частичный момент не существует. Частичные моменты нормализуются возведением в степень 1/n. Отношение потенциала роста может быть выражено как отношение верхнего частичного момента первого порядка к нормализованному нижнему частичному моменту второго порядка. Они используются в определении некоторых финансовых метрик, таких как коэффициент Сортино, поскольку они фокусируются исключительно на потенциале роста или убытков.