Кіріспе
Математикада, нүктелер жиынтығының пішінінің сандық өлшемі. Математикада функцияның моменттері – функция графигінің пішінімен байланысты белгілі бір сандық өлшемдер. Егер функция масса тығыздығын көрсететін болса, онда бірінші момент – жалпы масса, бірінші момент (жалпы массаға нормалдықталған) – массаның орталығы, ал екінші момент – инерция моменті. Егер функция ықтималдық таралымы болса, онда бірінші момент – күтілетін мән, екінші орталық момент – дисперсия, үшінші стандартталған момент – қисықтық, ал төртінші стандартталған момент – куртоз. Математикалық ұғым физикадағы момент ұғымымен тығыз байланысты. Шектелген аралықтағы масса немесе ықтималдық таралымы үшін барлық моменттердің жиынтығы (барлық реттер бойынша, 0-ден ∞-ға дейін) таралымды бірегей түрде анықтайды (Гаусдорф моменттерінің мәселесі). Бұл шексіз аралықтар үшін дұрыс емес (Гамбургер моменттерінің мәселесі). XIX ғасырдың ортасында Пафнутий Чебышев кездейсоқ шамалардың моменттері тұрғысынан жүйелі түрде ойлауды бастаған алғашқы адам болды.
In mathematics, the moments of a function are certain quantitative measures related to the shape of the function's graph. If the function represents mass density, then the zeroth moment is the total mass, the first moment (normalized by total mass) is the center of mass, and the second moment is the moment of inertia. If the function is a probability distribution, then the first moment is the expected value, the second central moment is the variance, the third standardized moment is the skewness, and the fourth standardized moment is the kurtosis. The mathematical concept is closely related to the concept of moment in physics. For a distribution of mass or probability on a bounded interval, the collection of all the moments (of all orders, from 0 to ∞) uniquely determines the distribution (Hausdorff moment problem). The same is not true on unbounded intervals (Hamburger moment problem). In the mid nineteenth century, Pafnuty Chebyshev became the first person to think systematically in terms of the moments of random variables.
Ауыспалылық
Екінші орталық момент – дисперсия. Дисперсияның оң квадрат түбірі – стандартты қатеулік.
Қисық
Үшінші орталық момент – таралудың қисықтығын өлшейді; кез келген симметриялы таралудың, егер анықталған болса, үшінші орталық моменті нөлге тең болады. Нормаланған үшінші орталық момент қисықтық деп аталады, көбінесе γ арқылы белгіленеді. Сол жаққа қарай қисыққан таралудың (таралудың құйрығы сол жақта ұзынрақ) қисықтығы теріс болады. Оң жаққа қарай қисыққан таралудың (таралудың құйрығы оң жақта ұзынрақ) қисықтығы оң болады. Қалыпты таралымнан тым көп ерекшеленбеген таралымдар үшін медиана шамамен μ − γσ/6 тең болады; мода шамамен μ − γσ/2 тең болады.
Куртоз
Төртінші орталық момент – таралудың құйрығының ауырлығын өлшейтін шама. Ол төртінші дәрежесінің күтімі болғандықтан, төртінші орталық момент, егер анықталған болса, әрқашан теріс емес; ал нүктелік таралымды есептемегенде, ол әрқашан қатаң оң болады. Нормалды таралымның төртінші орталық моменті 3σ^(4) тең. Куртоз κ – стандартталған төртінші орталық момент ретінде анықталады. (Балама түрінде, келесі бөлімдегідей, артық куртоз – төртінші кумулянтты екінші кумулянттың квадратына бөлу нәтижесі.) Егер таралымның ауыр құйрықтары болса, куртоз жоғары болады (кейде лептокуртикалық деп аталады); керісінше, жеңіл құйрықты таралымдар (мысалы, біркелкі сияқты шектеулі таралымдар) төмен куртозға ие болады (кейде платикуртикалық деп аталады). Куртоз шексіз оң мәнге жете алады, бірақ κ ≥ γ^(2) + 1 шарты орындалуы керек; теңдік тек бинарлық таралымдар үшін ғана қолданылады. Қалыпты таралымнан тым алыс емес, шексіз қисық таралымдар үшін κ шамасы γ^(2) және 2γ^(2) аралығында болады. Бұл теңсіздікті 1=T = (X − μ)/σ деп қарастыру арқылы дәлелдеуге болады. Бұл квадраттың күтімі, сондықтан ол барлық a үшін теріс емес; алайда, ол a-ға қатысты квадраттық көпмүшелік болып табылады. Оның дискриминанты теріс емес болуы керек, осылайша қажетті қатынас шығады.
Жоғары сәттер
Жоғары реттік сәттер – 4-ші реттік сәттерден асып түсетін сәттер. Дисперсия, қисықтық және куртоз сияқты, бұл жоғары реттік статистика болып табылады, деректердің сызықтық емес комбинацияларын қамтиды және пішіннің қосымша параметрлерін сипаттау немесе бағалау үшін қолданылуы мүмкін. Реттік саны жоғары болған сайын, бағалау қиынырақ, себебі бірдей сападағы бағалаулар алу үшін үлкен үлгілер қажет. Бұл жоғары реттік сәттерге жұмсалатын артық еркіндік дәрежелеріне байланысты. Сонымен қатар, оларды түсіндіру қиын болуы мүмкін, көбінесе оларды төменгі реттік сәттер арқылы түсіну оңайырақ. Физикадағы серпіліс пен сілкіністің жоғары реттік туындыларын қарастырыңыз. Мысалы, 4-ші реттік момент (куртоз) "дисперсияға үлес қосуда құйрықтардың иықтарға қарағанда салыстырмалы маңыздылығы" ретінде түсіндіріледі (дисперсияның белгілі бір мөлшері үшін, жоғары куртоз қалың құйрықтарды білдіреді, ал төменгі куртоз кең иықтарды білдіреді), ал 5-ші реттік момент "қисықтыққа үлес қосуда құйрықтардың орталыққа (максимумға және иықтарға) қарағанда салыстырмалы маңыздылығын" өлшеу ретінде түсіндіріледі (қисықтықтың белгілі бір мөлшері үшін, жоғары 5-ші момент құйрықтардағы жоғары қисықтықты және максимумдағы аз қисықтықты білдіреді, ал төменгі 5-ші момент иықтардағы жоғары қисықтықты білдіреді).
Бір-бірімен аралас сәттер
Аралас сәттер – бірнеше айнымалыны қамтитын сәттер. Бұл мән реттік момент деп аталады (бүтін емес мәндер үшін де моменттер анықталады). Кездейсоқ айнымалылардың бірлескен үлестірілуінің моменттері де осылай анықталады. Кез келген бүтін сандар үшін, математикалық күту реттік аралас момент деп аталады (мұндағы ), ал ол тәртіптің орталық аралас моменті деп аталады. Аралас момент ковариация деп аталады және кездейсоқ айнымалылар арасындағы тәуелділіктің негізгі сипаттамаларының бірі болып табылады. Мысалдар: ковариация, косиметрия және коэксис. Ковариация бірегей болса, косиметрия мен коэксистің бірнеше түрі болады.
Мүгедектердің проблемасы
Мүмкіндік үлестірімін оның сәттер тізбегінен анықтау мәселелері сәттер мәселесі деп аталады. Мұндай мәселелерді алғаш рет П. Л. Чебышев (1874) шек теоремаларын зерттеу барысында талқылаған. Кездейсоқ айнымалының ықтималдық үлестірімі оның сәттерімен бірегей түрде анықталуы үшін, мысалы, Карлеман шарты орындалуы жеткілікті: ұқсас нәтиже кездейсоқ векторлардың сәттері үшін де қолданылады. Сәттер мәселесі – бұл кейбір f функциясының сәттер тізбегі болып табылатын тізбектердің сипаттамаларын іздеу, олардың барлық сәттері шекті, және әрбір бүтін сан үшін , мұнда шекті. Онда оның сәттері ретінде үлестіру функциясына әлсіз жақындасатын тізбек болады. Егер сәттер бірегей түрде анықталса, онда тізбек үшін әлсіз жақындасады.
A similar result even holds for moments of random vectors. The problem of moments seeks characterizations of sequences that are sequences of moments of some function f, all moments of which are finite, and for each integer let
where is finite. Then there is a sequence that weakly converges to a distribution function having as its moments. If the moments determine uniquely, then the sequence weakly converges to .
Ішінара сәттер
Кейде жартылай сәттерді "бір жақты сәттер" деп атайды. r эталондық нүктесіне қатысты n-ші реттік төменгі және жоғарғы жартылай сәттерді былай білдіруге болады:
Егер интеграл функциясы жиналмаса, жартылай сәт те болмайды. Жартылай сәттер 1/n дәрежесіне көтеріліп нормаландырылады. Жоғарыға қарайғы әлеует коэффициенті бірінші реттік жоғарғы жартылай сәт пен нормаланған екінші реттік төменгі жартылай сәт арасындағы қатынас ретінде көрсетілуі мүмкін. Олар, мысалы, Сортино коэффициенті сияқты, кейбір қаржылық көрсеткіштерді анықтауда қолданылды, себебі олар тек өсімге немесе төмендеуге назар аударады.