Введение
В математике, физике, электронике, инженерии систем управления и статистике частотная область относится к анализу математических функций или сигналов по частоте (и, возможно, фазе), а не по времени, как в случае временных рядов. Проще говоря, график во временной области показывает, как сигнал изменяется во времени, а график в частотной области показывает, как сигнал распределен по различным частотным диапазонам в пределах определенного диапазона частот. Комплексное представление в частотной области состоит из амплитуды и фазы набора синусоид (или других базисных форм волн) на частотных компонентах сигнала. Хотя часто амплитудную часть (действительную частотную область) называют частотной характеристикой сигнала, для однозначного определения сигнала необходима и фазовая составляющая. Преобразование между временной и частотной областями данной функции или сигнала осуществляется с помощью пары математических операторов, называемых преобразованиями. Примером является преобразование Фурье, которое преобразует функцию времени в комплексную сумму или интеграл синусоидальных волн различных частот, каждая из которых имеет свою амплитуду и фазу и представляет собой частотную компоненту. "Спектр" частотных компонентов является частотным представлением сигнала. Обратное преобразование Фурье преобразует функцию в частотной области обратно в функцию во временной области. Спектроанализатор – это инструмент, обычно используемый для визуализации электронных сигналов в частотной области. Представление в частотной области может описывать как статическую функцию, так и определенный временной интервал динамической функции (сигнала или системы). Преобразование частоты динамической функции выполняется на конечном временном интервале этой функции, предполагая, что функция бесконечно повторяется за пределами этого интервала. Некоторые специализированные методы обработки сигналов для динамических функций используют преобразования, приводящие к совместному представлению во времени и частоте, где мгновенная частотная характеристика является ключевым связующим звеном между временной и частотной областями.
In mathematics, physics, electronics, control systems engineering, and statistics, the frequency domain refers to the analysis of mathematical functions or signals with respect to frequency (and possibly phase), rather than time, as in time series. Put simply, a time domain graph shows how a signal changes over time, whereas a frequency domain graph shows how the signal is distributed within different frequency bands over a range of frequencies. A complex valued frequency domain representation consists of both the magnitude and the phase of a set of sinusoids (or other basis waveforms) at the frequency components of the signal. Although it is common to refer to the magnitude portion (the real valued frequency domain) as the frequency response of a signal, the phase portion is required to uniquely define the signal. A given function or signal can be converted between the time and frequency domains with a pair of mathematical operators called transforms. An example is the Fourier transform, which converts a time function into a complex valued sum or integral of sine waves of different frequencies, with amplitudes and phases, each of which represents a frequency component. The "spectrum" of frequency components is the frequency domain representation of the signal. The inverse Fourier transform converts the frequency domain function back to the time domain function. A spectrum analyzer is a tool commonly used to visualize electronic signals in the frequency domain. A frequency domain representation may describe either a static function or a particular time period of a dynamic function (signal or system). The frequency transform of a dynamic function is performed over a finite time period of that function and assumes the function repeats infinitely outside of that time period. Some specialized signal processing techniques for dynamic functions use transforms that result in a joint time–frequency domain, with the instantaneous frequency response being a key link between the time domain and the frequency domain.
Преимущества
Одна из основных причин использования частотного представления проблемы — упрощение математического анализа. Для математических систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, — очень важного класса систем с широким спектром практических применений — переход от описания системы из временной области в частотную область преобразует дифференциальные уравнения в алгебраические, которые значительно легче решать. Более того, рассмотрение системы с точки зрения частоты часто позволяет интуитивно понять её качественное поведение, и для его описания сформировалась информативная научная терминология, характеризующая поведение физических систем при воздействии изменяющихся во времени сигналов, с использованием таких понятий, как полоса пропускания, частотная характеристика, коэффициент усиления, фазовый сдвиг, резонансные частоты, постоянная времени, ширина полосы резонанса, коэффициент затухания, добротность, гармоники, спектр, спектральная плотность мощности, собственные значения, полюса и нули. Примером области, где частотный анализ даёт более глубокое понимание, чем временной, является музыка: теория работы музыкальных инструментов и нотная запись, используемая для записи и обсуждения музыкальных произведений, неявно основаны на разложении сложных звуков на отдельные частотные компоненты (музыкальные ноты).
Магнитуда и фаза
При использовании преобразований Лапласа, Z или Фурье сигнал описывается комплексной функцией частоты: составляющая сигнала на любой заданной частоте задается комплексным числом. Модуль этого числа – амплитуда составляющей, а аргумент – относительная фаза волны. Например, с помощью преобразования Фурье звуковая волна, такая как человеческая речь, может быть разложена на составляющие тоны различных частот, каждая из которых представлена синусоидальной волной с определенной амплитудой и фазой. Характеристика системы, как функция частоты, также может быть описана комплексной функцией. Во многих приложениях информация о фазе несущественна. Отбрасывая информацию о фазе, можно упростить представление в частотной области для получения частотного спектра или спектральной плотности. Спектроанализатор – это прибор, отображающий спектр, а сигнал во временной области можно наблюдать на осциллографе.
Типы
Хотя о частотной области говорят как об одной, существует ряд различных математических преобразований, используемых для анализа функций, заданных во временной области, и которые называют методами частотного анализа. Это наиболее распространенные преобразования и области их применения:
Ряд Фурье – периодические сигналы, колебательные системы. Преобразование Фурье – апериодические сигналы, переходные процессы. Преобразование Лапласа – электронные схемы и системы управления. Z-преобразование – дискретные во времени сигналы, цифровая обработка сигналов. Вейвлет-преобразование – анализ изображений, сжатие данных. В более общем смысле, можно говорить об области преобразования по отношению к любому преобразованию. Перечисленные выше преобразования можно интерпретировать как способ выделения той или иной формы частоты, поэтому область преобразования называют частотной областью.
Fourier series – periodic signals, oscillating systems. Fourier transform – aperiodic signals, transients. Laplace transform – electronic circuits and control systems. Z transform – discrete time signals, digital signal processing. Wavelet transform — image analysis, data compression. More generally, one can speak of the transform domain with respect to any transform. The above transforms can be interpreted as capturing some form of frequency, and hence the transform domain is referred to as a frequency domain.
Дискретная частотная область
Дискретная частотная область – это частотная область, которая является дискретной, а не непрерывной. Например, дискретное преобразование Фурье отображает функцию, заданную в дискретном временном домене, в функцию, заданную в дискретном частотном домене. Дискретное преобразование Фурье по времени, напротив, отображает функции с дискретным временем (дискретные временные сигналы) в функции с непрерывным частотным доменом. Периодический сигнал содержит энергию только на основной частоте и её гармониках; следовательно, его можно анализировать, используя дискретную частотную область. Дискретный во времени сигнал порождает периодический частотный спектр. Если выполняются оба этих условия, то сигнал, который является дискретным и периодическим, имеет дискретный и периодический частотный спектр; это типичный контекст для дискретного преобразования Фурье.
История использования термина
Использование терминов «частотная область» и «временная область» возникло в области коммуникационной инженерии в 1950-х и начале 1960-х годов, при этом термин «частотная область» впервые появился в 1953 году. Подробности – в статье «Временная область: происхождение термина».